Domenica, 28 Gennaio 2024 09:44

Teorema di Bayes

Nel numero di ottobre 2022, Le Scienze, in collaborazione con MaddMaths!, ha inaugurato l’uscita di 20 volumi dedicati ai maggiori teoremi matematici. La collana si intitola Rivoluzioni matematiche e «Teorema di Bayes» è la sedicesima uscita di questa collana. L’autore è Roberto Natalini, matematico, Direttore dell’Istituto per le applicazioni del calcolo Mauro Picone del CNR, esperto di modelli matematici, è dedito a un’intensa attività di divulgazione, come dimostrato da MaddMaths!, dalla presidenza della commissione per la diffusione della matematica della European Mathematical Society dal 2015 al 2022, dalla direzione della rivista Archimede dal 2016 e dal coordinamento del progetto Comics&Science insieme ad Andrea Plazzi a partire dal 2012.
Il volume si presenta, come tutti quelli della collana, con una copertina in cui campeggia una T ed è abbastanza anonima sia dal punto di vista grafico, sia per il fatto che non compare il nome dell’autore, emblema della centralità data al teorema. La struttura dei volumi è uniforme: dopo la biografia dell’autore del teorema, viene dedicato un po’ di spazio alla cornice culturale e scientifica, ovvero il presente del teorema; ci si addentra poi nel suo passato con gli antefatti che hanno creato condizioni favorevoli e, dopo che la parte centrale è stata dedicata all’enunciato, all’eventuale dimostrazione e ai prerequisiti necessari per comprenderlo adeguatamente, la parte finale è dedicata al futuro del teorema, ovvero alle applicazioni e agli sviluppi successivi.

La biografia di Bayes non è certo ricca di particolari, visto che non c’è sicurezza nemmeno per quanto riguarda il suo anno di nascita, anche se sappiamo che è vissuto dall’inizio del 1700 fino al 1761, è stato un ministro protestante e ha dedicato la sua vita non solo alla matematica, ma anche a scritti di carattere teologico. Il contesto generale, fatto di storia, letteratura, arte e musica, è seguito dal contesto scientifico: siamo in pieno secolo dei lumi, «un periodo in cui la ricerca nei diversi ambiti della scienza non solo accelerò, ma venne anche condotta in maniera nuova». Le nuove leggi scientifiche, dalla classificazione di Linneo al celebre testo di Darwin, offrono un terreno particolarmente fertile per la teoria della probabilità, «uno dei principali strumenti matematici di cui si è dotata la scienza moderna». Nonostante questo, «ancora oggi non è detto che, al di fuori di un ristretto numero di insegnamenti universitari, le persone abbiano una formazione di base sui concetti probabilistici, anche quando questi toccano aspetti non secondari della vita quotidiana»: obiettivo di questo testo è proprio quello di colmare questo vuoto culturale, a partire da sei problemi proposti prima dell’enunciato, che mostrano la potenza del teorema e, al tempo stesso, presentano da subito la ricchezza delle sue applicazioni. Natalini risolve fin da subito il problema dei test diagnostici, attraverso una soluzione elementare che sfrutta i diagrammi di Eulero-Venn, mostrandoci come la teoria della probabilità sia «solo un modo di quantificare la nostra incertezza per guidarci nelle decisioni da prendere».

Dopo una trattazione matematica dettagliata, rigorosa ed estremamente chiara, Roberto Natalini conclude il suo percorso con le applicazioni, a partire dalla soluzione degli esempi proposti precedentemente. Non può poi mancare il riferimento al problema di Monty Hall, la cui soluzione ha visto un errore persino del grande matematico Paul Erdős. L’applicazione del teorema di Bayes a questo problema, per quanto non sia la strada più immediata, «mostra in modo molto chiaro come le informazioni che abbiamo cambiano la nostra stima della probabilità degli eventi». È in questa ottica che il teorema costituisce un valido aiuto nel filtrare le mail in ingresso e nell’individuare lo spam, attraverso i «classificatori bayesiani ingenui», oppure può fare la differenza in tribunale, come dimostrato dal caso delle morti improvvise in culla dei figli di Sally Clark.
L’entità del calcolo richiesto per l’applicazione del teorema di Bayes l’ha reso meno comodo rispetto al teorema centrale del limite, ma i moderni strumenti tecnologici hanno reso questo ostacolo meno limitante. Non solo, le applicazioni fatte nel secolo scorso hanno mostrato tutta la sua importanza: a Bletchley Park il teorema di Bayes è stato fondamentale per ridurre il numero delle posizioni di Enigma, ma la scelta di Alan Turing è rimasta sepolta negli archivi militari fino al 1973. Nel frattempo, il teorema ha mostrato la sua versatilità nell’individuare la correlazione tra il fumo e l’insorgenza di tumori ai polmoni.

Il testo mette in evidenza la controintuitività della teoria della probabilità, tanto che «la difficoltà per molte persone nel saper rispondere al problema del test diagnostico è stata rilevata da molti studi specifici ed è alla base di problemi nelle diagnosi da infezioni batteriche e virali e nelle diagnosi tumorali». L’incapacità di effettuare stime corrette non riguarda solo l’ambito medico, ma d’altra parte «il ragionamento probabilistico bayesiano è difficile e molto poco naturale e non sorprende quindi che molte persone abbiano una erronea percezione delle grandezze in gioco». Fortunatamente, da circa sessant’anni l’approccio bayesiano si è diffuso ovunque, come dimostrato dalle applicazioni in genetica.
Natalini, lungo il percorso, riconosce la semplicità del teorema dal punto di vista matematico, e non può che evidenziare, a fronte della sua controintuitività, quanto sia «fondamentale per capire il mondo che ci circonda». Il testo si chiude con un’apertura al futuro, a dimostrazione di quanto la matematica sia vitale e in continuo movimento: «Saranno solo i prossimi anni a dirci quali nuovi problemi potranno essere risolti grazie all’intuizione iniziale di un ministro presbiteriano inglese del XVIII secolo.»

Informazioni aggiuntive

  • Autori: Roberto Natalini
Letto 528 volte Ultima modifica il Domenica, 28 Gennaio 2024 11:06

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