Verifica di fisica, classe prima liceo scientifico.
Argomento: forze ed equilibrio

Durata: 60 minuti.

Verifica di matematica, classe prima liceo scientifico.
Argomento: geometria euclidea, i triangoli

Durata: 60 minuti.

Verifica di fisica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: cinematica del piano

Durata: 60 minuti.

Verifica di matematica, classe prima liceo scientifico.
Argomento: equazioni lineari numeriche e letterali, intere e frazionarie, problemi

Durata: 60 minuti.

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: calcolo delle probabilità (recupero insufficienze)

Durata: 75 minuti.

Matematica che fa notizia
Eureka! Trovato l’«einstein» della tassellazione è il titolo dell’articolo di Maddmaths! scritto da Stefano Pisani e riguardante l’ultima scoperta matematica. Si parla di un preprint su Arxiv, scritto dai quattro matematici Craig Kaplan, dell’Università di Pittsburgh, David Smith, dell’Università di Birmingham, Joseph Mayers della Cambridge University e Chaim Goodman-Strauss dell’Università dell’Arkansas. Hanno scoperto un monotile aperiodico, conosciuto come einstein, e qui il nome non rimanda al celebre fisico ma al significato letterale in tedesco, ovvero “una pietra”, perché di fatto è un’unica forma che riesce a tassellare il piano in modo aperiodico. La notizia è stata ripresa anche dalle pagine di Wired, dove troviamo alcune curiosità in aggiunta a quelle già presentate su MaddMaths! Nell’articolo di Wired, firmato da Daniele Polidoro, troviamo alcuni link interessanti, come il video pubblicato da Craig Kaplan su Youtube, dove si mostra come la tessera sia in realtà una delle soluzioni possibili in una sequenza continua di forme collegate tra loro. 

Matematica… che ossessione
Tra le varie curiosità che possiamo leggere in merito alla tassellazione, scopriamo che la sua realizzazione ha richiesto anni di lavoro. Navigando un po’ mi sono imbattuta in questo poster, realizzato come riassunto da Andrea Galasso per l’Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia, il quale ripercorre la storia delle tassellazioni. Tra le curiosità, troviamo la storia di Marjorie Rice, la casalinga che nel 1975 dopo aver letto l’articolo di Martin Gardner (era un’appassionata della sua rubrica su Scientific American) riuscì a trovare quattro diverse tassellazioni periodiche con dei pentagoni irregolari. Ottenne questo successo grazie alla sua passione per l’arte. La ricerca di queste quindici tassellazioni richiese parecchio tempo e il lavoro di diverse persone, ma solo 99 anni dopo la scoperta della prima tassellazione, e perciò nel 2017, Michaël Rao riuscì a dimostrare che le tassellazioni trovate erano le uniche possibili. La storia di questi 99 anni è presentata molto bene, con ricchezza di particolari e numerose curiosità, riguardanti anche le relazioni tra i matematici, da Natalie Wolchover, che ci parla, all’indomani della dimostrazione di Rao, del monotile einstein, che lo stesso Rao indica come Sacro Graal della matematica e considera la propria dimostrazione una pietra miliare nel cammino che separa i matematici dal tassello. Molti matematici erano convinti della sua esistenza, ma il percorso è stato concluso da Kaplan, Smith, Myers e Goodman-Strauss. Non è la prima volta che una scoperta matematica importante richiede tanto lungo lavoro. Cecilia Rossi, nel suo libro dedicato a Sophie Germain, cita Andrew Wiles, il matematico che ha dimostrato, dopo anni di lavoro e dopo secoli di tentativi infruttuosi da parte di altri matematici, l’ultimo Teorema di Fermat: «Entri nella prima stanza di un castello, e ti ritrovi avvolto dall’oscurità. Dall’oscurità più assoluta. Avanzi a tentoni, sbattendo contro i mobili, ma poco a poco impari dove si trovano i vari pezzi di mobilia. Alla fine, dopo circa sei mesi, trovi l’interruttore della luce e d’improvviso tutto è illuminato. Puoi vedere esattamente dove sei e quello che ti circonda. Quindi, vai nella successiva stanza, e passi altri sei mesi nelle tenebre.» 

Matematica semplice e giocosa
Questa scoperta può essere un’occasione per notare quanto sia semplice e giocosa la matematica: la tessera trovata è semplice e la si ottiene affiancando tre esagoni regolari, ritagliando un terzo di un esagono, con un pentagono che ripercorre due apotemi non consecutivi. Lo stesso pezzo viene poi ritrovato su entrambi gli esagoni confinanti tanto da ottenere una tessera di 13 lati, con una superficie pari a 4/3 di quella dell’esagono regolare di partenza. La forma ottenuta è stata indicata dagli autori come “The Hat”, il cappello. Una volta compreso come realizzarla, è facile replicarla: io ieri ho provato a ricostruire il puzzle con Geogebra, anche se l’elevato numero di oggetti inseriti ha fatto crashare il software più volte, come avevo già visto quando avevo tentato di realizzare le tassellazioni in occasione della nostra prima partecipazione a BergamoScienza nel 2016 (può essere utile togliere la vista sulla finestra Algebra e impedire l’etichettatura dei nuovi punti, ma si rimanda solo l’inevitabile). Poi ho seguito uno dei link proposti da Wired e sono approdata su Mathigon, dove le tessere sono già pronte e bisogna solo realizzare il puzzle già avviato: ho scoperto a mie spese che non è un puzzle facile da realizzare. Più semplice da utilizzare è l’applicazione che ci permette di disegnare velocemente parecchie tessere. In questo caso, possiamo notare che la costruzione della griglia viene portata avanti grazie a delle supertiles, supertessere, che permettono di ricostruire più velocemente il puzzle nel caso si rendesse necessario. 

Matematica creativa
La creatività dei matematici si può esprimere a vari livelli. Nel caso della nuova tassellazione, la possiamo cogliere nei nomi usati per indicare la tessera, a partire da “einstein”, traduzione letterale della parola tedesca “una pietra”, come a ricordarci che la pavimentazione si può realizzare con un’unica pietra. Al tempo stesso, la tessera viene nominata come monotile aperiodico e spero di non essere l’unica ad aver letto “monolite” al posto di “monoTiLe”, forse influenzata dal fatto che si trattava di una pietra. Tile è il nome della tessera in inglese, perciò monotile richiama appunto la presenza di un’unica tessera. La tessera viene indicata da Kaplan come “The hat”, il cappello, ma viene indicata anche come polykite, dove poly indica la pluralità dei “kite”, ovvero gli aquiloni e in effetti la tessera è composta da 8 aquiloni, ovvero 8 quadrilateri con le diagonali perpendicolari e i lati consecutivi a due a due congruenti. In qualche modo, grazie agli aquiloni, viene richiamata la tassellazione aperiodica di Penrose, costruita con due tipi diversi di tessere, la freccia e l’aquilone. 

Matematica ovunque
La domanda che forse sorge più spontanea è perché i matematici perdano tempo con una cosa del genere, e forse la risposta più immediata è immaginata come dovuta a una particolare passione per l’arte. Non è così errata come motivazione, visto che Kaplan nel suo blog parla proprio della sua passione per l’arte, e la stessa Marjorie Rice era partita dalla passione per l’arte, non dalla preparazione matematica (che non possedeva). In realtà, questo genere di scoperta apre la strada ad alcune applicazioni che, in ambito matematico, potrebbero avere a che fare con la logica e la decidibilità, mentre per quanto riguarda la fisica sono collegate alla crescita dei quasi-cristalli. In altre parole, la tassellazione potrebbe aiutarci nella comprensione della disposizione degli atomi e nella ricostruzione della struttura della materia. Daniel Shechtman nel 1982 aveva scoperto che i cristalli non hanno una struttura periodica, ma la scoperta non era stata accettata facilmente dalla comunità scientifica, tanto che il fisico fu insignito del premio Nobel per la chimica solo nel 2011.
La matematica non è nuova ad applicazioni originali: possiamo fare l’esempio della teoria dei nodi che ritroviamo nello stemma dei Borromeo o come simbolo dell’Unione Matematica Internazionale, ma che al tempo stesso ha applicazione nella fisica subatomica, nella chimica supramolecolare e in biologia. Possiamo ritrovare la matematica anche nella salute pubblica, dove i modelli matematici possono aiutare i decisori politici, permettendo loro di compiere le proprie scelte sulla base di evidenze scientifiche, in caso di epidemie. Il modello aiuta i matematici «a capire come l’infezione si diffonde nella popolazione umana e/o animale, sia a livello spaziale che temporale, e quali interventi ne interrompono la diffusione». Ma i modelli matematici possono servire anche per riprodurre il comportamento del cuore e comprendere meglio come funziona e come curarlo, come fatto da Alfio Quarteroni. In questa serie di podcast realizzati con Enrico Schlitzer e prodotta da MaddMaths!, è possibile seguire il percorso e cogliere l’utilità e la ricchezza dei modelli matematici.
Che la matematica sia ovunque è ben mostrato anche dal libro per bambini Maths Lab, edito da Gribaudo, nel quale troviamo ventisette progetti che possono essere realizzati da “piccoli matematici”. Sfogliando le pagine di questo libro possiamo davvero cogliere la presenza della matematica. 

Matematica per tutte le persone
Lo slogan della Giornata Internazionale della Matematica, edizione 2023, aveva l’intento di ricordare che la matematica è accessibile a chiunque. (Gli organizzatori della giornata sono già alla ricerca del nuovo tema per il 2024, e chiunque può fare la propria proposta.) La sfida lanciata quest’anno aveva come obiettivo quello di aprire i confini della matematica, lasciando a tutti la possibilità di realizzare un fumetto che avesse un contenuto matematico. Ora alcuni dei fumetti realizzati sono visibili online in una piccola galleria proposta sulla pagina (forse potreste trovare anche qualche spunto per i vostri studenti, se siete insegnanti). Ho partecipato anch’io, ma il mio fumetto non è riuscito a entrare nella rassegna, per questo l’ho proposto sul mio sito: parla di bullismo e di quadrilateri inscrivibili e circoscrivibili a una circonferenza.
La casa editrice De Agostini ha celebrato il Math Day con una trasmissione dagli ospiti davvero speciali: con la guida di Luca Perri, Luca Balletti e Giulia Bernardi, la casa editrice ha deciso di aiutare i docenti, per un’ora, a trasmettere l’entusiasmo per la matematica agli alunni. Chiara de Fabritiis, Roberto Natalini e Cristiana de Filippis hanno accompagnato la diretta, ma sono state proposte anche due delle interviste realizzate per dare voce ai divulgatori, agli insegnanti, agli appassionati di matematica. Durante la diretta, è stata presentata una parte dell’intervista della medaglia Fields Maryna Viazovska e quella di Giampaolo Ricci, giocatore di pallacanestro laureando in matematica, che ha invitato gli studenti a migliorarsi ogni giorno, facendo riferimento alla crescita esponenziale. Tra i matematici che non hanno avuto ruoli accademici, è stata ricordata Carla Guiducci Bonanni, bibliotecaria e non solo. 

Concludo con un piccolo (ultimo) suggerimento di lettura per i più piccoli: Il mio nome è Tartaglia, che può far conoscere la figura di Tartaglia ai più piccoli, raccontandone l’adolescenza e le lotte con i coetanei che lo prendevano in giro per la sua parlantina poco sciolta. 

Buona matematica! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela

La proprietà dei quadrilateri di essere circoscritti a una circonferenza o di essere inscrivibili. Il rombo, con tutti i suoi lati congruenti, crede di essere superiore a chiunque, ma è solo circoscrivibile a una circonferenza; anche il rettangolo, con tutti i suoi angoli retti, crede di essere superiore, ma è solo inscrivibile in una circonferenza. Un quadrilatero qualsiasi, bullizzato dal rombo e del rettangolo, con tutti i suoi angoli e i suoi lati diversi, può essere sia circoscrivibile che inscrivibile in una circonferenza. Le apparenze ingannano.

Fumetto da me realizzato per partecipare alla Comic Challenge, organizzata per l'International Day of Mathematics 2023.

«Sophie Germain, Libertà, uguaglianza e matematica» è stato pubblicato a fine febbraio 2023 dalla Casa Editrice L’Asino d’Oro per la collana “Profilo di donna”, che «si propone di dar voce a figure di donne che si sono distinte nei loro ambiti professionali […] mettendo in risalto le difficoltà affrontate per affermarsi in una società che le discrimina e le ostacola». L’autrice, Cecilia Rossi, si è laureata in matematica all’Università di Bologna, con una tesi sul carteggio fra Sophie Germain e Carl Friedrich Gauss, ed ora è docente di matematica e fisica in un liceo scientifico.

«Sophie Germain» comincia con un’introduzione di Roberta Fulci, redattrice e conduttrice di Radio3 Scienza, che ci ricorda che «i dati raccontano uno scenario ancora molto sbilanciato a favore degli uomini nel mondo della ricerca […] e più si sale nella gerarchia accademica più le donne sono una rarità». Per quanto le donne possano contare oggi su una maggiore libertà, il gender gap continua a essere un problema, ma almeno se ne parla.
La prefazione è seguita da un cronologia, nella quale sono riportate le date principali della vita di Sophie Germain. Successivamente troviamo una breve nota dell’autrice, che ci informa che, considerate le scarse notizie riguardanti la vita di Sophie, una parte di quello che andremo a leggere sarà di fatto frutto della sua fantasia.

La narrazione si apre con una Sophie tredicenne che trova rifugio nella matematica, mentre attorno a lei infuriano le sommosse della Rivoluzione francese: per portare avanti la sua passione, all’inizio Sophie deve tirare fuori tutta la sua grinta e la sua determinazione, perché i genitori la ostacolano in ogni modo. Ad un certo punto, però, non hanno altra scelta che quella di piegarsi alla forza della figlia e ne diventano presto i principali sostenitori. Cecilia Rossi immagina che Sophie Germain risponda ai propri genitori e alle loro rimostranze: «se ogni volta che una ragazza si interessa di matematica si cerca di dissuaderla, è ovvio che il numero delle matematiche non aumenterà mai». La Rivoluzione francese ha portato grandi opportunità per le donne, alle quali sono riconosciuti gli stessi diritti civili e politici degli uomini, ma non consente loro l’iscrizione all’École Polytechnique (sarà possibile solo dal 1972!) e a Sophie non resta altro da fare che assumere l’identità di un allievo che aveva abbandonato i corsi, Antoine-August Le Blanc. È così che Sophie Germain riesce a entrare in contatto con Lagrange e Gauss, due grandi matematici del tempo, per confrontarsi con loro grazie a una fitta corrispondenza.

A Sophie Germain non mancano le sfide con le quali misurarsi: l’ultimo teorema di Fermat e la teoria dei numeri sono il primo campo di indagine, ma quando ha modo di assistere agli esperimenti del fisico acustico Chladni, Sophie scopre la fisica matematica e si appassiona. Quando viene indetto un Gran Premio sulle superfici elastiche dall’Accademia di Francia, Sophie è l’unica partecipante e dopo tre tentativi e tanto lavoro sperimentale, è la prima donna ad essere premiata. Dobbiamo il ricordo che ci è rimasto di Sophie Germain ad un suo caro amico, Guglielmo Libri, che ha permesso che i manoscritti della giovane finissero nelle collezioni della Bibliothèque nationale di Parigi e nella Biblioteca Moreniana di Firenze. I contemporanei non riconoscono l’importanza del lavoro di Sophie nell’ambito delle superfici vibranti e dell’elasticità e, come spesso è successo alle donne nella scienza, anche lei «è stata dimenticata ed eclissata, nonostante abbia contribuito alla marcia del progresso allo stesso modo degli uomini.»
Studi più recenti hanno permesso di realizzare che «i risultati di Sophie sono molto più ampi, profondi e significativi di quanto si fosse mai realizzato prima», tanto da guadagnarsi «l’immortalità lavorando in distinti rami della matematica e incidendo amorevolmente il suo nome negli annali della teoria dei numeri, il ramo più puro». Cecilia Rossi mostra tutta la sua ammirazione per Sophie Germain, che ha saputo essere una «matematica rivoluzionaria» semplicemente portando avanti la sua passione. Ha compiuto scelte audaci ed è stata tenace nello studio, e il suo valore ci viene restituito in pienezza da questo libro, alla portata di tutti, visto che non contiene i dettagli matematici delle sue scoperte. È da leggere assolutamente.

«Maths Lab» è una pubblicazione di Gribaudo, per la quale è uscito nel settembre del 2021 nella collana Enciclopedia per ragazzi. Il sottotitolo, «ingegnosi progetti per piccoli matematici» ci dice già tantissimo del contenuto.

I ventisette progetti sono suddivisi in tre aree: numeri, figure e misure. I progetti proposti per i numeri sono utili per imparare a usarli: si parla di calamite numeriche, della realizzazione di un abaco per fare i conti e di un origami per imparare le tabelline, di una tombola matematica per giocare e imparare, di come realizzare una spirale aurea e un acchiappasogni o di come usare una pizza per imparare le frazioni. Le figure geometriche vengono definite come «mattoncini matematici da usare per creare ogni sorta di disegni fantastici». Tra di esse ritroviamo le simmetrie, la realizzazione di una carta e una borsa da regalo, le istruzioni per realizzare degli ingrandimenti di immagini, per costruire una rana saltatrice con l’origami, per realizzare tassellazioni, un triangolo impossibile e dei biglietti animati. L’ultimo capitolo è dedicato alle misure, ovvero a quei progetti che permettono al lettore di «padroneggiare l’arte delle misurazioni». Troviamo la costruzione di un’automobilina per fare delle prove di velocità, le istruzioni per realizzare braccialetti dell’amicizia, due ricette, una per bibite divertenti e l’altra per i tartufi al cioccolato, quindi non può mancare la realizzazione di una scatola per contenere i cioccolatini e di un vassoio per popcorn. Il lettore viene guidato a realizzare un teatro delle ombre e viene presentato anche un piccolo gioco per indagare la probabilità. Ci sono le istruzioni per realizzare una pista per le biglie, per costruire delle illusioni ottiche, un orologio e una mangiatoia per uccellini.

I progetti vengono presentati sempre nello stesso modo: dopo una breve introduzione, troviamo gli strumenti da usare, ovvero gli ingredienti, e la matematica che verrà coinvolta nel progetto, oltre a una piccola grafica che ci permette di cogliere subito quanto tempo richiederà il progetto e quale sia la sua difficoltà. In alcuni dei progetti, troviamo la proposta di alcune sfide in famiglia e la matematica della realtà, che ci mostra l’applicazione nella realtà dei concetti presentati. Le istruzioni sono proposte con un elenco puntato corredato da foto e accompagnato da piccoli box nei quali ritroviamo la spiegazione dei concetti matematici coinvolti, con l’immagine di una piccola calcolatrice come simbolo. Il secondo simbolo è un cartello di pericolo, dedicato a quei progetti che richiedono la presenza di un adulto. La matematica coinvolta nei progetti spazia in ogni ambito: troviamo la geometria, con le rette parallele, le figure geometriche piane e solide, le simmetrie e le rotazioni, il piano cartesiano con le coordinate. Poi troviamo la probabilità, la stima, i rapporti con le costruzioni in scala, le proporzioni e le percentuali, il calcolo delle medie. Non manca l’aritmetica, con le quattro operazioni, il valore posizionale, la tavola pitagorica e le frazioni, l’algebra, le serie e le successioni. Nelle ultime pagine, troviamo un glossario con i termini matematici incontrati nei progetti.

Il libro è fruibile a partire dagli otto anni, anche se alcuni progetti sono effettivamente un po’ complicati e per questo richiedono la presenza di un adulto. La presentazione di una matematica pratica, attraverso l’indagine del lato nascosto delle cose, rende il libro davvero apprezzabile e tutt’altro che banale: stimola l’idea di una matematica laboratoriale, che può essere estremamente utile anche per gli insegnanti.

«Non serve essere un genio, ma solo saper usare i numeri e la fantasia nel modo giusto!»

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: equazioni di secondo grado intere, frazionarie, letterali, equazioni parametriche

Durata: 60 minuti.