Mi capita spesso di domandarmi quanto la matematica sia presente in ambito professionale, quanto i miei (ormai ex) alunni debbano “fare i conti” con questa disciplina, tanto che al termine del percorso liceale, chiedo loro di tornare a trovarmi e di raccontarmi cosa hanno scelto di fare e quanto sia stato utile ciò che abbiamo studiato insieme. A volte sembra che il problema si esaurisca nell’utilità, ma non è così: da parte mia, c’è la necessità di capire se ho fornito loro abbastanza strumenti per affrontare il percorso professionale che hanno scelto, qualsiasi esso sia.

Confrontandomi con un medico, a settembre, mi sono sentita dire: «Diciamoci la verità: la matematica che uso nel mio lavoro è quella delle elementari: faccio le addizioni, qualche sottrazione, ma niente di veramente impegnativo!»

È stata questa la molla che ha fatto nascere in me l’esigenza di guardare più in profondità: davvero la matematica che usiamo tutti i giorni nel mondo professionale è solo quella dei primi anni delle elementari? Saltando da un pensiero all’altro, ha preso piede l’idea di realizzare un’indagine statistica e ne è nato un lavoro di educazione civica per la mia terza del liceo scientifico. Abbiamo proceduto per fasi, un po’ a tentoni: guardandomi indietro, mi rendo conto che avrei dovuto guidarli meglio, ma credo che il lavoro fatto abbia permesso loro di capire cosa significhi realizzare un’indagine statistica e, al tempo stesso, abbia fornito un’idea del mondo del lavoro un po’ più articolata. Quello che segue è l’articolo che, suddivisi a gruppi, i ragazzi hanno realizzato al termine del percorso, analizzando i risultati emersi dai questionari raccolti. Dopo aver definito gli obiettivi e i destinatari dell’indagine, gli alunni hanno partecipato attivamente alla stesura delle domande, alla scelta della modalità di somministrazione e alla correzione delle bozze; una volta approntato il modulo Google, hanno diffuso il questionario fra i propri conoscenti e, alla chiusura della consegna, hanno lavorato in gruppo, suddividendosi le domande da analizzare, realizzando una parte dell’articolo riportato di seguito e una parte del Power Point usato per presentare gli esiti dell’indagine alla classe.

In allegato:

• la presentazione che abbiamo realizzato in Power Point perché ogni gruppo potesse presentare al resto della classe il proprio lavoro
• il testo del questionario

1. Profilo dei partecipanti

2. Matematica e mondo del lavoro

3. Il rapporto con la matematica

4. Conoscenze adeguate?

5. Prospettive future

Lavoro realizzato dalla classe 3AS del Liceo Scientifico "Decio Celeri" di Lovere (Bg)
Berlinghieri Tommaso, Bonomelli Anna, Cancellerini Claudia, Cocchetti Chiara, Colosio Sofia, Elmetti Davide, Gatti Gabriele, Mazzucchelli Filippo, Meloni Claudia, Oprandi Roberta, Romele Marta, Pe Sara, Previtali Ambra, Stefini Anastasia, Stofler Riccardo, Taboni Diego, Tomaini Filippo

«Calcolo delle probabilità» è stato pubblicato da EBS print nel 2022 e l’autore è Francesco Daddi: docente di matematica e fisica presso il Liceo Scientifico “Fermi” di Cecina dal 2005, ha al suo attivo numerose pubblicazioni su riviste di didattica della matematica, è spesso relatore a convegni e si occupa di corsi di formazione per insegnanti. È attivo anche nel campo della divulgazione, come dimostrato dal suo sito www.francescodaddi.it.

Il testo contiene 1800 esercizi svolti e 200 esercizi proposti inerenti alla teoria della probabilità, «uno dei settori della matematica più ostici da insegnare e da apprendere». Questa frase di apertura della prefazione ci informa che il testo è stato pensato sia per gli studenti che per i docenti: Daddi utilizza dei risultati teorici, punta sulla comprensione dei concetti e propone più strategie risolutive per consentire al lettore di scegliere quella più adeguata mentre, con pazienza, lo accompagna verso la formalizzazione matematica dei problemi.

Suddivisi in dieci capitoli, i 2000 esercizi permettono al lettore di affrontare ogni genere di quesito riguardante la probabilità, a partire dalle basi: il primo capitolo è dedicato al calcolo combinatorio, mentre il secondo offre un’ottantina di esercizi preparatori, particolarmente adatti per il primo approccio alla probabilità alle superiori, che in genere avviene al biennio. Gli esercizi presentano strategie risolutive che utilizzano la teoria degli insiemi o i teoremi della probabilità, proponendo un’ampia casistica e un livello di difficoltà difficilmente presente nei libri di testo attuali, mettendo a disposizione dei docenti una sfida per i propri studenti. Il terzo capitolo è dedicato alle estrazioni e alle lotterie, mentre il quarto parla di poker, tombola e tornei; il quinto capitolo analizza le prove ripetute e il sesto la probabilità condizionata, aumentando il livello di difficoltà. Il settimo capitolo propone sfide, giochi e scommesse, mentre nell’ottavo capitolo si trovano le variabili aleatorie discrete, la covarianza e la correlazione, fino ad arrivare alla distribuzione di Poisson; il nono capitolo propone una settantina di problemi sulle catene di Markov e l’ultimo capitolo ha per protagoniste le variabili aleatorie continue.

L’indice analitico permette di arrivare velocemente a ciò che interessa: il lettore vi può trovare l’elenco delle distribuzioni continue e discrete, ma anche parecchi esercizi proposti durante gli Esami di Stato del liceo scientifico, o problemi tratti dalle Olimpiadi della matematica. Non mancano problemi classici, come quello di Monty Hall: è possibile partire proprio da questi, perché la loro strategia risolutiva, analizzata dettagliatamente, diventa oggetto degli esercizi successivi.

I docenti potranno permettersi di affrontare con più leggerezza un argomento che non è tra i più amati, nemmeno dagli insegnanti di matematica, mentre gli studenti universitari potranno trovare la strategia risolutiva che è più adatta a loro. Nei primi capitoli, i prerequisiti richiesti riguardano la teoria degli insiemi e il calcolo algebrico, poi si aggiunge il calcolo combinatorio con situazioni più complesse, e nei capitoli finali è necessario possedere l’analisi matematica.
La molteplicità delle strategie, la facilità di consultazione, le rappresentazioni grafiche curate, il fatto che gli esercizi vengano ripresi più volte, prima scegliendone una trattazione semplice e poi proponendo tecniche più avanzate, i collegamenti tra i vari argomenti, rendono questo libro una vera ricchezza.

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico, recupero per assenti
Argomento: operazioni con i radicali e algebra con coefficienti irrazionali

Durata: 110 minuti

Verifica di fisica, classe terza liceo scientifico.
Argomento: termologia e calorimetria

Durata: 50 minuti

Verifica di fisica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: cinematica unidimensionale e sicurezza stradale, recupero per assenti

Durata: 50 minuti

Verifica di matematica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: operazioni con i radicali e algebra con coefficienti irrazionali

Durata: 110 minuti

Verifica di fisica, classe seconda liceo scientifico.
Argomento: cinematica unidimensionale e sicurezza stradale

Durata: 50 minuti

Verifica di matematica, classe terza liceo scientifico.
Argomento: circonferenza

Durata: 110 minuti

Matematica e probabilità
Quando insegno al biennio, il mese di gennaio è dedicato all’educazione civica e, per quanto riguarda matematica, questo significa teoria della probabilità. Mentre per alcune ore sono ancora impegnata a lavorare con i radicali, che diventano occasione di ripasso dell’algebra, un’altra parte del percorso è dedicata al calcolo delle probabilità. In questo modo, gli alunni evitano di lasciarsi sopraffare dai radicali, che inevitabilmente causano un po’ di noia, e hanno modo di rendersi conto di quanto la matematica diventi fondamentale se applicata a questioni di vita reale. Se ci inoltriamo nel campo dell’azzardopatia, non può mancare il riferimento a La legge del perdente e ai video di Federico Benuzzi, ma quest’anno ho deciso di leggere integralmente il testo di Diego Rizzuto e Paolo Canova Fate il nostro gioco. I due autori, un fisico e un matematico, hanno fondato nel 2012 con Sara Zaccone Taxi1729, una società di consulenza, formazione e comunicazione scientifica. Il testo contiene una trattazione completa dei giochi d’azzardo, descrive nel dettaglio i meccanismi che creano dipendenza e parla, in conclusione, della matematica della decisione. Gli aneddoti, spesso ripresi anche dai video su YouTube, mi hanno offerto materiali e spunti da poter utilizzare in classe. A questa lettura si è affiancato quest’anno il libro Teorema di Bayes, sedicesima uscita della collana Rivoluzioni matematiche di Le Scienze, realizzata in collaborazione con MaddMaths! L’autore di questo testo è Roberto Natalini, esperto di modelli matematici e dedito alla divulgazione matematica, che ci accompagna alla scoperta del teorema di Bayes, a partire dalla biografia dell’autore, dal contesto nel quale si è sviluppato, fino ad arrivare alle applicazioni e agli sviluppi successivi, mostrandoci come la matematica sia ancora in crescita.
Proprio in questi giorni, per dare rilievo alla pubblicazione di Natalini, sui social di MaddMaths! è stato ricordato anche un articolo di Gian-Italo Bischi del novembre 2009, dedicato ad Edgar Allan Poe e al suo legame con la probabilità. Poe è «unanimemente considerato l’iniziatore del genere poliziesco», che ha come data di nascita il 1841, l’anno di pubblicazione del suo racconto “I delitti della Rue Morgue”. I polizieschi hanno tutti la stessa struttura: partono da una situazione di equilibrio infranto da un crimine, per risolvere il quale si usano l’analisi e la logica, ma anche la probabilità. Purtroppo, Poe cade in un errore, che in qualche modo porta in sé quelle misconcezioni che tutti noi dobbiamo combattere nell’ambito della teoria della probabilità. 

Metodi vecchi e nuovi
Insegnare matematica è una sfida continua e bisogna, quindi, cercare nuovi metodi per illustrare i problemi in classe: da questo punto di vista, Geogebra ci offre un valido aiuto: estremamente versatile, il software ci permette di affrontare sia lo studio dell’analisi che quello della geometria, e lo sa molto bene Ilaria Fanelli che ha deciso di realizzare questo video, dopo aver lavorato in classe su un problema di trigonometria. Dopo aver costruito il problema geometricamente e averlo analizzato in classe per ottenere la funzione risolvente, con Geogebra Ilaria offre una breve panoramica sull’analisi e sui problemi di massimo e minimo (che si affronta in quinta linceo), ma ha dato modo ai suoi alunni di comprendere fino in fondo la necessità delle limitazioni poste al problema e il motivo della soluzione attraverso un’equazione goniometrica. Il video è, come sempre, chiaro e molto curato, e si presta ad essere usato sia dagli insegnanti, siamo sempre alla ricerca di nuovi spunti, sia dagli studenti, che, in autonomia, possono mettersi alla prova con nuove strategie.
Non possiamo che riconoscere la necessità di usare le immagini per trasmettere alcuni contenuti matematici e ne sono particolarmente consapevoli gli autori del canale YouTube Mathematical Visual Proofs, più volte citato, che propongono contenuti che dimostrano geometricamente formule algebriche, come nel caso di questa somma di numeri triangolari, realizzata tridimensionalmente. Ritengo questi video particolarmente utili per chi deve memorizzare queste formule, come i partecipanti ai giochi matematici: le immagini offrono un grande aiuto sul fronte della memorizzazione.
A fronte di questi nuovi strumenti che la tecnologia ci mette a disposizione, per gli scienziati non c’è niente come la lavagna, secondo questo ultimo articolo del Post. La lavagna è uno strumento utilizzato dall’XI secolo e non ha mai avuto particolari innovazioni: «una lastra rettangolare in ardesia, in un telaio di legno, su cui si scrive con il gesso». Non è mai stata realmente superata dagli strumenti moderni, forse proprio per effetto della sua efficacia: “«La maggior parte dei calcoli li fai su carta, ma quando poi raggiungi un vicolo cieco, vai alla lavagna e condividi il problema con un collega»: è in quel momento, secondo Fink, che emergono soluzioni che prima erano invisibili. «La cosa divertente è che spesso risolvi il problema da solo, mentre lo scrivi», ha detto.” In altre parole, la lavagna permette di condividere e, raccontando ad altri il problema che non si riesce a risolvere, si è costretti a chiarirlo meglio e, in questo modo, si giunge più facilmente alla soluzione. Non solo, l’utilizzo della lavagna ci ricorda che «Per certi versi la matematica è come l’artigianato, per certi versi è come l’arte», secondo il matematico statunitense David Eisenbud, citato nell’articolo. Da un raccoglitore che tengo sulla scrivania, vedo l’articolo di Vincenzo Mulè per l’ultimo numero di Prisma: «Con carta e penna l’apprendimento è migliore». Se aggiungiamo la lavagna all’equazione, il risultato è davvero garantito! 

Carnevale della matematica
Un altro modo per mettersi in gioco è quello di accogliere gli stimoli provenienti, mensilmente, dal Carnevale della matematica. Il numero 174 è stato ospitato da Flavio Ubaldini nel suo blog Pitagora e dintorni, e l’argomento proposto era la matematica bisestile. Per quanto il tema proposto ogni mese costituisca solo uno spunto e di fatto i partecipanti possano parlare anche di altri argomenti, per questo mese mi sono imposta di restare sul tema proposto. Devo dire che è stata una bella sfida, visto che non avevo altre idee oltre al calcolo matematico che ha portato alla scelta di introdurre l’anno bisestile, tema ben spiegato e sviluppato da Annalisa Santi nel suo blog Matetango. Matematica bisestile mi ha ricordato la lettura, risalente a qualche anno fa, di un libro per ragazzi, Tibaldo e il buco nel calendario: è la storia di Tibaldo, un dodicenne che si vede privato del suo compleanno per colpa del salto di dieci giorni nell’ottobre del 1582 disposta da Papa Gregorio XIII. Nel corso dei giorni precedenti, ho raccolto un po’ le idee e ho realizzato, quindi, un flusso di coscienza a partire dal significato del termine “bisesto”, passando per i frattali, per il termine inglese “leap year”, fino all’Atlante del tempo dove ho trovato una geometria del tempo, passando per il libro di Sandra Lucente (prezzemolino tra la matematica del web delle ultime settimane) e arrivando fino al calendario cosmico. Il prossimo carnevale verrà ospitato dai Rudi mathematici e uscirà il 14 febbraio. 

I superpoteri della matematica
La newsletter avrebbe dovuto chiudersi qui: non ho raccolto altri suggerimenti matematici dalla rete e, per questa volta, complice anche una verifica di geometria analitica che aspetta che io metta mano alla penna rossa, avrei potuto accontentarmi. Poi, a un attimo dall’ultima correzione, sono stata taggata da un amico in un post su Facebook nel quale veniva parzialmente riportato l’articolo di Chiara Valerio, comparso su La Stampa giovedì 25 gennaio e diventato una lezione dal titolo “La matematica è un superpotere” presentata sabato 27 alla nuova manifestazione del Salone del libro di Torino che si sta svolgendo a Parma (la descrizione della lezione di La Repubblica). L’articolo richiama innanzi tutto la grande passione per la matematica di Chiara, anche se, per sua stessa ammissione, è ormai lontana dalla matematica vera: per lei la matematica è rimasta «un amico del cuore del liceo che non vedo più da tanti anni e il cui volto, improvvisamente, riconosco tra la folla». Chiara ha mantenuto un sentimento di «allegria, stupore e nostalgia» nei confronti della matematica e, forse proprio per la distanza che si è creata, riesce a descriverla con una certa obiettività, descrivendone i superpoteri. Il primo superpotere è l’attenzione, perché se dobbiamo «accettare di perdere i concetti che non ci servono e non utilizziamo», questo dovrebbe portarci a «prestare attenzione e tempo alle cose che vogliamo tenere con noi, e con le quali vogliamo mantenere una confidenza». Il secondo superpotere è l’«accettazione del cambiamento», come dimostrato dal controesempio, che sta «lì a ricordarci che tutto può essere cambiato e tutto può essere discusso». L’ultimo superpotere risiede nell’errore: citando in maniera semplificata De Finetti (ricordiamo che Chiara Valerio ha fatto un dottorato di ricerca in calcolo delle probabilità) Chiara dice che «l’incertezza non è eliminabile, è solo misurabile». Considerare l’errore come «nostra caratteristica principale» dovrebbe essere confortante: proprio perché ci accomuna tutti, dovrebbe essere «un ulteriore elemento di vicinanza», anche se «ognuno di noi sbaglia a modo proprio».
Mi piace in particolare la conclusione dell’articolo, perché parla di intenzione nell’apprendimento: «la matematica, rispetto all’errore, è accogliente e sinonimo di perdonare è capire. Sia per perdonare che per capire ci vogliono tempo e intenzione. Ecco, l’intenzione, riguardo l’apprendimento, è qualcosa che viene spesso trascurato o relegato a elemento secondario», mentre è fondamentale e determinante. È l’intenzione, insieme al desiderio, a fare la differenza.

La conclusione di Chiara Valerio sull’errore mi ha portato alla mente altre parole che recentemente sono state (parzialmente) riprese da vari canali di informazione: «Siate straordinari, concedetevi il dubbio! […] Gli errori, si sa, aiutano a crescere. Commetteteli, allora, ma fatelo nel tentativo, anche maldestro, di liberare la vostra creatività, la vostra originalità, di costruire la vostra indipendenza. L’errore che invece potete evitare è fare esclusivamente ciò che ci si aspetta da voi e lasciare che altri decidano qual è il vostro posto nel mondo. Siate sempre i protagonisti del vostro progetto e mai le comparse del progetto di qualcun altro!» Sono le parole di Paola Cortellesi e le potete riascoltare integralmente nel suo intervento alla cerimonia di apertura dell’anno accademico presso l’Università Luiss Guido Carli di Roma. 

Buona matematica e buon cammino! Ci sentiamo tra TRE settimane!

Daniela 

PS: traduzione della vignetta: Sei fortunato, lo sai, uccellino? Tu sei fortunato perché non devi studiare matematica! Non devi conoscere la razionalizzazione di un denominatore e cose stupide come questa. Sei davvero fortunato

Nel numero di ottobre 2022, Le Scienze, in collaborazione con MaddMaths!, ha inaugurato l’uscita di 20 volumi dedicati ai maggiori teoremi matematici. La collana si intitola Rivoluzioni matematiche e «Teorema di Bayes» è la sedicesima uscita di questa collana. L’autore è Roberto Natalini, matematico, Direttore dell’Istituto per le applicazioni del calcolo Mauro Picone del CNR, esperto di modelli matematici, è dedito a un’intensa attività di divulgazione, come dimostrato da MaddMaths!, dalla presidenza della commissione per la diffusione della matematica della European Mathematical Society dal 2015 al 2022, dalla direzione della rivista Archimede dal 2016 e dal coordinamento del progetto Comics&Science insieme ad Andrea Plazzi a partire dal 2012.
Il volume si presenta, come tutti quelli della collana, con una copertina in cui campeggia una T ed è abbastanza anonima sia dal punto di vista grafico, sia per il fatto che non compare il nome dell’autore, emblema della centralità data al teorema. La struttura dei volumi è uniforme: dopo la biografia dell’autore del teorema, viene dedicato un po’ di spazio alla cornice culturale e scientifica, ovvero il presente del teorema; ci si addentra poi nel suo passato con gli antefatti che hanno creato condizioni favorevoli e, dopo che la parte centrale è stata dedicata all’enunciato, all’eventuale dimostrazione e ai prerequisiti necessari per comprenderlo adeguatamente, la parte finale è dedicata al futuro del teorema, ovvero alle applicazioni e agli sviluppi successivi.

La biografia di Bayes non è certo ricca di particolari, visto che non c’è sicurezza nemmeno per quanto riguarda il suo anno di nascita, anche se sappiamo che è vissuto dall’inizio del 1700 fino al 1761, è stato un ministro protestante e ha dedicato la sua vita non solo alla matematica, ma anche a scritti di carattere teologico. Il contesto generale, fatto di storia, letteratura, arte e musica, è seguito dal contesto scientifico: siamo in pieno secolo dei lumi, «un periodo in cui la ricerca nei diversi ambiti della scienza non solo accelerò, ma venne anche condotta in maniera nuova». Le nuove leggi scientifiche, dalla classificazione di Linneo al celebre testo di Darwin, offrono un terreno particolarmente fertile per la teoria della probabilità, «uno dei principali strumenti matematici di cui si è dotata la scienza moderna». Nonostante questo, «ancora oggi non è detto che, al di fuori di un ristretto numero di insegnamenti universitari, le persone abbiano una formazione di base sui concetti probabilistici, anche quando questi toccano aspetti non secondari della vita quotidiana»: obiettivo di questo testo è proprio quello di colmare questo vuoto culturale, a partire da sei problemi proposti prima dell’enunciato, che mostrano la potenza del teorema e, al tempo stesso, presentano da subito la ricchezza delle sue applicazioni. Natalini risolve fin da subito il problema dei test diagnostici, attraverso una soluzione elementare che sfrutta i diagrammi di Eulero-Venn, mostrandoci come la teoria della probabilità sia «solo un modo di quantificare la nostra incertezza per guidarci nelle decisioni da prendere».

Dopo una trattazione matematica dettagliata, rigorosa ed estremamente chiara, Roberto Natalini conclude il suo percorso con le applicazioni, a partire dalla soluzione degli esempi proposti precedentemente. Non può poi mancare il riferimento al problema di Monty Hall, la cui soluzione ha visto un errore persino del grande matematico Paul Erdős. L’applicazione del teorema di Bayes a questo problema, per quanto non sia la strada più immediata, «mostra in modo molto chiaro come le informazioni che abbiamo cambiano la nostra stima della probabilità degli eventi». È in questa ottica che il teorema costituisce un valido aiuto nel filtrare le mail in ingresso e nell’individuare lo spam, attraverso i «classificatori bayesiani ingenui», oppure può fare la differenza in tribunale, come dimostrato dal caso delle morti improvvise in culla dei figli di Sally Clark.
L’entità del calcolo richiesto per l’applicazione del teorema di Bayes l’ha reso meno comodo rispetto al teorema centrale del limite, ma i moderni strumenti tecnologici hanno reso questo ostacolo meno limitante. Non solo, le applicazioni fatte nel secolo scorso hanno mostrato tutta la sua importanza: a Bletchley Park il teorema di Bayes è stato fondamentale per ridurre il numero delle posizioni di Enigma, ma la scelta di Alan Turing è rimasta sepolta negli archivi militari fino al 1973. Nel frattempo, il teorema ha mostrato la sua versatilità nell’individuare la correlazione tra il fumo e l’insorgenza di tumori ai polmoni.

Il testo mette in evidenza la controintuitività della teoria della probabilità, tanto che «la difficoltà per molte persone nel saper rispondere al problema del test diagnostico è stata rilevata da molti studi specifici ed è alla base di problemi nelle diagnosi da infezioni batteriche e virali e nelle diagnosi tumorali». L’incapacità di effettuare stime corrette non riguarda solo l’ambito medico, ma d’altra parte «il ragionamento probabilistico bayesiano è difficile e molto poco naturale e non sorprende quindi che molte persone abbiano una erronea percezione delle grandezze in gioco». Fortunatamente, da circa sessant’anni l’approccio bayesiano si è diffuso ovunque, come dimostrato dalle applicazioni in genetica.
Natalini, lungo il percorso, riconosce la semplicità del teorema dal punto di vista matematico, e non può che evidenziare, a fronte della sua controintuitività, quanto sia «fondamentale per capire il mondo che ci circonda». Il testo si chiude con un’apertura al futuro, a dimostrazione di quanto la matematica sia vitale e in continuo movimento: «Saranno solo i prossimi anni a dirci quali nuovi problemi potranno essere risolti grazie all’intuizione iniziale di un ministro presbiteriano inglese del XVIII secolo.»