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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:17

Zero

TRAMA:
I matematici non parlano di numeri, ma di nessi e i numeri acquistano così sempre maggiore evanescenza. Con lo zero la questione si ingarbuglia ancora di più, visto che i nomi designano qualcosa, ma zero designa niente, esprime la quantità di quel che non c’è. Per questo l’itinerario temporale e concettuale dello zero è pieno di complicazioni e traversie. 
Contare, in fondo, significa associare specifici sostantivi numerici e simboli a raccolte di oggetti di vario tipo e ben presto in tutte le culture si riunirono gli oggetti che si desiderava contare in gruppi della medesima grandezza, per contare i gruppi invece degli oggetti. Con i numeri romani la rappresentazione restava goffa, ma già ai tempi dei Babilonesi possiamo trovare le tracce ancora rudimentali, con un semplice doppio cuneo, dello zero attuale. Non c’è traccia di zero nella Grecia omerica e classica e neppure in epoca alessandrina. Non c’era la notazione posizionale e le difficoltà di calcolo erano grandi, tanto più che i primi Greci non avevano portato a termine il processo di astrazione dei numeri da ciò che servivano a contare. È probabile che solo con Alessandro Magno i Greci abbiano scoperto la funzione decisiva dello zero nei calcoli, quando nel 331 a.C. invasero ciò che restava dell’impero babilonese. Infatti, nei loro papiri astronomici del III secolo a.C. troviamo il simbolo «0» a indicare lo zero.
Esso però non era ancora un numero: era usato come noi usiamo la punteggiatura. D’altra parte, il calcolo non godeva di molto prestigio sulle sponde dell’Egeo. Era chiamato «logistica» e lasciato ai mercanti: la passione dei Greci per la matematica era rivolta in larga misura alla geometria e i mercanti, lasciati a se stessi, si consolarono con l’abaco. Kaplan è convinto che proprio nell’abaco ci sia l’origine dello zero come lo conosciamo oggi: è verosimile che i sassolini spesso usati fossero tondeggianti; perciò sarebbe stato naturale rappresentarli nella scrittura e nei disegni con cerchietti pieni, che diventano cerchietti vuoti nel momento in cui sulla colonna non c’era nemmeno un contrassegno. 
È innegabile l’influenza che la cultura greca ebbe su quella indiana: la presenza dei semi di papavero nella sequenza di Archimede e nel racconto sul Buddha non può essere fortuita. Aryabhata, Varahamihira, Brahmagupta… tutti avevano un loro modo di indicare lo zero, con sinonimi che lo collocano più nella ragione discorsiva che in quella matematica. 
Nel 950, nella Spagna moresca, troviamo figure arabe particolari: sono i numeri da 1 a 9, senza lo zero. Questi numeri sono circondati da sciami di puntini che indicano il loro posto-valore: se sul numerale non c’è nessun puntino, è un’unità; se ce n’è uno, si tratta di una decina; se ce ne sono due, di un centinaio, e così via. Sono punti pieni e, benché piccoli, funzionano quasi come zeri nella numerazione posizionale.
Dobbiamo ancora vedere lo zero trattato come un numero: esso era una «condizione transitoria di una parte di tavoletta per calcoli». Il fatto è che qualunque cosa può essere un numero, purché si dimostri capace di socializzare con ciò che è già considerato tale: lo zero doveva poter essere sommato, sottratto e impiegato in moltiplicazioni e divisioni. 
Indipendentemente dalla cultura greca o da quella indiana, anche i Maya avevano il loro simbolo di zero: un uomo tatuato adorno di collana e con la testa piegata all’indietro. Mentre la cultura Maya agonizzava, i mercanti arabi trasportavano merci esotiche, racconti e tecniche in ogni dove. Furono forse mercanti arabi sulla via delle spezie e dell’avorio a portare lo zero in Cina. L’origine indiana dello zero cinese è rivelata non solo dalle sue forme, ma anche dall’ideogramma corrispondente, che alludeva alle ultime, rare gocce di acqua dopo un temporale. 
Di certo lo zero giunse in Occidente non più tardi del 970, ma la superstizione spinse i timorati di Dio a evitarlo, attirandogli le simpatie di coloro che sentivano il fascino dell’occulto. I numerali arabi facevano fatica ad imporsi, come dimostra il fatto che nel 1299 a Firenze il Consiglio cittadino emanò un’ordinanza che dichiarava illegale l’uso dei numeri nei libri contabili: le somme andavano indicate in parole, perché lo zero poteva essere facilmente mutato in 6 o 9. 
Fibonacci, nel 1202, pubblicò il Liber Abaci, nel quale parlava dei numerali arabi, da lui giudicati il miglior strumento di calcolo in cui si fosse imbattuto. Non si limitò a descriverne il sistema, ma da vero matematico si divertì a esplorarne le possibilità. Ma parlava di nove cifre indiane e del segno zero. 
I numerali arabi avanzavano in modo discontinuo, aiutati anche dall’invenzione della contabilità a partita doppia. Al tempo di Luca Pacioli, i numerali romani erano usati soprattutto per le date e per conferire solennità ai documenti, ma il modo in cui le somme erano archiviate era diverso da quello in cui erano ottenute.
Senza dare nell’occhio lo zero entrò nel Rinascimento insieme ai numerali arabi e si rese indispensabile ai nostri calcoli. John Napier, barone di Merchiston presso Edimburgo, ponendo le equazioni simili uguali a zero, ideò un metodo di soluzione valido per tutte. Ci voleva un tocco di genialità per pensare di utilizzare lo zero in questo modo. 
Nel XVII secolo, l’atteggiamento verso le equazioni stesse stava cambiando: si cominciavano a mettere a fuoco problemi di moto. Fra coloro che ragionavano per infinitesimi, due uomini giunsero allo stesso risultato quasi contemporaneamente: Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz. Fu però soltanto alla fine del XIX secolo che in Francia e in Germania fu elaborata un’interpretazione del problema che sembrava finalmente soddisfacente. 
Ciò che nacque col calcolo infinitesimale non fu solo un modo di afferrare e controllare lo spettacolo del cambiamento, ma una nuova percezione della sede del significato. Il problema 0/0 fu finalmente risolto, anche se solo nel contesto delle pendenze: negli altri casi la divisione per zero rimane impossibile.
Il più grande trionfo dello zero nella sua opera di espansione della nostra conoscenza si ha grazie al calcolo infinitesimale: lo zero possiede la chiave per farci compiere la maggior parte delle imprese e con il minimo sforzo. Perché lo zero? Perché il valore della variabile nel punto in cui la funzione derivata si azzera è il numero che massimizza o minimizza il processo. 
Dove troviamo lo zero in natura? Non lo possiamo trovare nell’universo, colmo di radiazioni invisibili, non lo troviamo nelle campane di vetro, nonostante il lavoro di generazioni di ricercatori ci abbia portato sempre più vicini alla meta. Se siamo alla ricerca di uno zero all’interno della realtà fisica, non lo troveremo nemmeno nel tempo e neppure nel centro inerte delle cose. Lo zero può trovarsi nelle leggi, nelle relazioni fra le cose: ma esse non sono cose, non sono entità che esistono nella realtà e quindi nemmeno gli zeri che esse implicano sono realtà. 
Lo zero non è né positivo né negativo, anche se ci appare negativo quando pensiamo al suo significato metaforico: quanti zero scopriamo di aver incontrato nella nostra vita e persino di aver deriso! Oppure ci appare positivo se lo pensiamo come il vivere con umiltà: ridurre se stessi a zero, umiliando il proprio orgoglio. 
Dopo aver percorso la storia dello zero, le sue incarnazioni matematiche, fisiche e psicologiche, Kaplan conclude con il sistema binario, scoperto da Napier nel 1616, grazie al quale funzionano le nostre calcolatrici: tutti i numeri derivano da combinazioni di 0 e 1. Ma si può fare di più: von Neumann riconosce lo zero nell’insieme vuoto e da esso ricava tutti gli altri numeri. Esattamente come Pierce, filosofo americano, che nel 1880 fa discendere l’intera logica dalla negazione della verità. 
Davvero «Il nulla avrà origine dal nulla» come afferma il Lear shakespeariano?
 
COMMENTO:
A tratti complesso, ma nell’insieme scorrevole, il libro offre un’ottima panoramica della storia, non solo matematica, dello zero. Non è forse adatto a studenti delle superiori, visti alcuni passaggi un po’ complessi, anche se dal punto di vista matematico non presenta calcoli complessi o formule incomprensibili.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:16

Il numero

TRAMA:
CAPITOLO PRIMO – Genesi dei sistemi di numerazione
Dal contare come stabilire una corrispondenza biunivoca al contare come raggruppare: interessante la storia della nascita del numero, attraverso i sistemi di numerazione arcaici degli Egiziani, dei Babilonesi, dei Greci e dei Maya e quelli più moderni degli Indiani e degli Arabi.
 
CAPITOLO SECONDO – Sistemi posizionali di numerazione
Capitolo un po’ più complesso, dedicato allo studio delle rappresentazioni posizionali dei numeri attraverso le rappresentazioni algebriche dei codici. (interessante e curiosa la moltiplicazione araba, anche se non è spiegato il meccanismo).
 
CAPITOLO TERZO – Divisibilità e sistemi di numerazione
A partire dal teorema fondamentale dell’aritmetica, il capitolo si sviluppa con la dimostrazione della periodicità della rappresentazione dei numeri razionali in basi periodiche. Complesso dal punto di vista della comprensione: alcuni concetti sono espressi in modo eccessivamente e inutilmente complicato. In questo capitolo si fa riferimento anche al teorema di Eulero, ai numeri ciclici e ai primi di Mersenne. (curiosa la prova di divisibilità di Pascal)
 
CAPITOLO QUARTO – Numeri reali
Si comincia con il dominio di integrità dei numeri razionali, si passa attraverso il metodo assiomatico e la commensurabilità, con ampio riferimento ai pitagorici e al teorema di Pitagora. Si arriva al teorema di Fermat e alla dimostrazione dell’incommensurabilità di , oltre alla dimostrazione dell’impossibilità fisica di rappresentarla. Il capitolo si conclude con la presentazione dei tre problemi irrisolvibili dell’antichità, costruibili solamente con riga e compasso.
 
CAPITOLO QUINTO – Frazioni continue
Innanzi tutto viene presentato l’algoritmo euclideo per il calcolo del MCD interessante perché iterativo, carattere tipico proprio delle frazioni continue.
 
CAPITOLO SESTO – Fratture
A partire dal Piano di Argand, o semplicemente piano complesso, il capitolo si snoda attraverso la rappresentazione geometrica dei numeri e dei nodi primi (si definiscono anche i numeri primi gaussiani); le fratture sono un modo per rappresentare i numeri irrazionali, che nessuna retta con pendenza razionale può incontrare: ovvero è un ipotetico raggio luminoso infinitamente sottile che si propaga all’infinito senza incontrare un nodo. Nello sviluppo del capitolo viene rivisitato anche il calcolo del MCD.
 
CAPITOLO SETTIMO – Infinito 
Sicuramente il capitolo più interessante, anche se costituisce solo un assaggio dell’argomento, essendo poco sviluppato. “La strada per l’infinito è disseminata di paradossi, e occorre prestare grande attenzione quando si estrapola un ragionamento da qui a lì. Ciò può sembrare una naturale estensione di leggi e regole inerenti all’ambito della nostra più prossima sfera d’azione, in altre parole, i primi (e pochi!) numeri interi, talvolta può portare a irrisolvibili contraddizioni”. È il caso delle serie convergenti e dei paradossi sulle serie infinite, dell’Hotel Hilbert e dei paradossi di Zenone, dell’Horror infiniti dei Greci, al quale il metodo di esaustione di Eudosso si oppone. Solo Cantor parla di infinito attuale, contro l’infinito potenziale di Aristotele, solo Cantor cerca di numerare i vari tipi di infinito, di confrontarli l’uno con l’altro.
 
COMMENTO:
Libro a tratti molto difficile, inutilmente complicato laddove i calcoli avrebbero potuto essere presentati più semplicemente. Interessante e scorrevole il primo capitolo, sulla genesi dei sistemi di numerazione, facile il quarto, sui numeri reali, molto interessante il quinto, sulle frazioni continue e riduttivo il settimo, sull’infinito.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:15

La quarta dimensione

TRAMA:
Il racconto fantastico Flatlandia, pubblicato nel 1884, narra la storia di un Quadrato che intraprende un viaggio nella terza dimensione. Rucker prende spunto da questo per parlare della Quarta Dimensione, attraverso un’analogia: la terza dimensione sta alla seconda, come la quarta sta alla terza. Il libro ha come fil rouge le Nuove avventure del Quadrato: in queste Rucker immagina che il Quadrato di Flatlandia guidi il lettore alla scoperta della quarta dimensione. 
Innanzi tutto Rucker riconosce che ogni oggetto di nD divide lo spazio (n + 1)D in 2 regioni: il filosofo dell’iperspazio Hinton propone i termini anà e katà per le regioni in cui il nostro spazio 3D divide quello 4D. «Tanto per avere un riferimento, possiamo immaginare che rispetto al nostro spazio il paradiso sia anà e l’inferno katà.»
La quarta dimensione è un’idea molto giovane: risale a poco prima della metà dell’Ottocento ed il primo filosofo a parlarne seriamente fu Kant. Nel tardo Ottocento era molto diffuso lo spiritismo e per trovare una spiegazione alla capacità di manifestarsi degli spiriti, venne ipotizzato che si trovassero nella quarta dimensione. Zöllner, professore di astronomia all’Università di Lipsia, diede vera diffusione a quest’idea e si illuse anche di averla dimostrata attraverso degli esperimenti. «L’effetto principale del lavoro di Zöllner fu che la quarta dimensione cominciò ad avere una reputazione sospetta e antiscientifica.». 
Il primo a toccare in qualche modo la Quarta dimensione fu Hinton, che riuscì a «prendere un oggetto 3D e vederne le parti semplicemente in termini di “che cosa è vicino a che cos’altro”, liberandosi quindi dai nostri tipici concetti spaziali di davanti/dietro e sopra/sotto.»
Rucker rivisita i concetti di spazio e tempo: «Siamo avvezzi a pensare che l’universo sia fatto di grumi di materia fluttuanti nello spazio vuoto: la materia è qualche cosa e lo spazio è il nulla. Ma è davvero una visione corretta?» A partire dall’esperimento di Michelson e Morley del 1887, Rucker si addentra nella teoria della relatività di Einstein. Dopo aver specificato che non si può determinare la forma dello spazio, in quanto ogni nostra ipotesi parte dall’idea che la curvatura dello spazio sia una costante, mentre «lo spazio potrebbe avere una forma ben più strana di quanto crediamo», Rucker tratta poi delle porte magiche su altri mondi, oggetti che ricorrono in tutta la letteratura fantastica. 
Torniamo al mondo di Flatlandia: immaginare un universo parallelo a quello del Quadrato è semplice, basta immaginare infiniti piani paralleli. Non è difficile nemmeno immaginare una porta magica che colleghi fra loro i due universi: si può pensare ad esempio ad una specie di scivolo che colleghi fra loro i due piani. Allo stesso modo, per analogia, dovremmo riuscire ad immaginare una porta che colleghi fra loro due diversi spazi tridimensionali, per forza di cose una porta che esista nella quarta dimensione. «Che aspetto avrebbe un siffatto tunnel iperspaziale? Il suo ingresso apparirebbe come una sfera contenente un altro universo completo, incredibilmente compresso e distorto. Se vi buttaste a capofitto in questa sfera, avreste proprio la sensazione di attraversarla. Ma poi, guardandovi intorno, vi rendereste conto di trovarvi nell’altro universo e voltandovi a guardare verso il tunnel iperspaziale vedreste una sfera che sembrerebbe contenere tutto il nostro universo originale, incredibilmente compresso e distorto.» 
E per quanto riguarda il tempo? Innanzi tutto, a partire dalla teoria della relatività, si è cominciato a parlare di spazio-tempo costituito da eventi: «Un “evento” è proprio ciò che la parola esprime: un dato luogo in un dato momento.» Il tempo, in quest’ottica, potrebbe essere una delle dimensioni superiori. 
Viaggiare nel tempo darebbe luogo a paradossi assurdi, eppure è da epoche remote che gli uomini sognano di viaggiare liberamente attraverso di esso. Infatti, i viaggi nel tempo e i viaggi FTL (faster than light) «promettono l’affrancamento da tre pastoie tipiche della condizione umana. Il viaggio nel tempo ci libera dal cieco e malefico dispotismo del tempo e dalla sterile nostalgia. Il viaggio FTL ci affranca dall’ostinata tirannia della distanza fisica, dalle fastidiose necessità del viaggio effettivo. I viaggi nei mondi alternativi ci liberano dal dover occupare una data posizione nella società e dalla necessità di accettare il mondo così com’è.» In altre parole, l’esistenza di questi viaggi ci permetterebbe di cambiare radicalmente la nostra vita. 
Rucker si esprime poi contro la telepatia: molti eventi sono collegati da causa ed effetto, altri invece no, sembrano coincidenze. C.G. Jung, psicologo, introduce il termine di sincronicità proprio per descrivere questi eventi: con questo termine, infatti, designa una “connessione acausale”. 
Nell’ultimo capitolo, Rucker cerca di rispondere alla domanda “Che cos’è la realtà?”. «Se facciamo uno sforzo sincero per descrivere il mondo come veramente lo sperimentiamo, allora esso diventa infinitamente più complicato di una semplice immagine 3D. Si ha la sensazione che, quanto più ci immergiamo nella natura della realtà, tante più cose scopriamo. Lungi dall’essere limitato, il mondo è, al contrario, di una ricchezza inesauribile.»
 
COMMENTO:
Scorrevole per chi abbia già conoscenze nel campo. In ogni caso, come tutti i libri al riguardo, può sembrare ai limiti del fantascientifico (non per nulla Rucker ha scritto anche libri di fantascienza). Il libro offre un’interessante carrellata sulla storia della quarta dimensione, presentando personaggi importanti ed influenti. 
Il tutto parte dal racconto fantastico di Flatlandia, perciò è necessario aver letto prima tale racconto, altrimenti si farebbe fatica a capirlo.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:14

L'uomo che vide l'infinito

TRAMA:
Ramanujan fu un eccentrico personaggio: nato in India nel 1887, si innamorò della matematica nel 1903 e, irretito dalla matematica pura, perse interesse per tutto il resto: gli venne così tolta la borsa di studio che aveva ottenuto.
La sua famiglia era ai limiti della miseria e di tanto in tanto Ramanujan pativa anche la fame. Cercò di arrangiarsi con qualche ripetizione, ma non era abile come insegnante. Cominciò a riportare i suoi appunti in alcuni quaderni che dimostrano il suo sviluppo fuori dalle convenzioni. I genitori lo sopportarono a lungo, ma alla fine si irritarono e, forse verso la fine del 1908, gli organizzarono un matrimonio combinato. 
Il 1911 fu un anno positivo e promettente: ottenne un incarico che gli permetteva di mantenersi economicamente e di dedicare tutto il tempo che voleva alla matematica. Le serie furono il primo amore di Ramanujan e furono l’argomento del suo primo articolo pubblicato sul Journal. In questo, come in tutta la sua opera, Ramanujan trovò rapporti tra cose che sembravano senza rapporto. Le dimostrazioni che dava erano abbozzate o incomplete, ma con questa pubblicazione cominciò a farsi notare. 
Gli eventi cospirarono per dirgli che sarebbe stato ascoltato con maggiore cognizione di causa dai matematici europei. Scrisse a Baker e a Hobson, ma entrambi gli risposero negativamente. Il 16 gennaio 1913, Ramanujan scrisse a un altro matematico di Cambridge, G. H. Hardy. E Hardy gli prestò ascolto. Fu la stranezza dei teoremi di Ramanujan a colpire Hardy, non la loro genialità. La lettera di risposta di Hardy era prodiga di incoraggiamenti e la carriera di Ramanujan si avviò velocemente, tanto che ricevette una borsa di studio dal Presidency College di Madras che lo rendeva libero di dedicarsi alla matematica: non aveva nient’altro da fare se non presentare un resoconto dei progressi fatti ogni tre mesi.
Con Hardy continuò il contatto epistolare, ma verso la metà di marzo la situazione rasentò la lite vera e propria. E Hardy non rispose per mesi. Nonostante questo, egli fece di tutto per portare Ramanujan in Inghilterra. Ma Ramanujan proveniva da una famiglia indù profondamente ortodossa: recarsi in Europa o in America costituiva una forma di contaminazione. Quando alla fine partì, Ramanujan attribuì la sua decisione all’ispirazione divina.
Appena arrivato in Inghilterra, Ramanujan era produttivo, lavorava sodo, era felice. Come Hardy poté verificare, alcuni suoi risultati erano sbagliati. Alcuni non erano importanti come a Ramanujan piaceva credere. Alcuni erano autonome riscoperte di ciò che i matematici occidentali avevano già scoperto anni prima. Molti, però, forse un terzo, come calcolò Hardy, o forse due terzi, come avrebbero calcolato i matematici più di recente, erano novità da mozzare il fiato.
Era stata una vera fortuna per Ramanujan finire tra le mani di Hardy, che spinse Ramanujan in accelerazione senza mettere la museruola alla sua creatività o spegnere le fiamme del suo entusiasmo. Ramanujan non aveva doveri ufficiali nell’ambito del college. Poteva immergersi nella matematica senza preoccuparsi di esigenze finanziarie, né sue né della sua famiglia. 
Probabilmente dagli inizi del 1916, fu preda di una forte tensione nervosa. Non c’era solo la guerra: c’erano momenti in cui le piccole cose famigliari della vita dell’India meridionale gli mancavano terribilmente e, tra gli inglesi, non poteva non sentirsi un estraneo, perciò si chiuse in se stesso.
Per molti aspetti Hardy era il migliore e più fedele amico che Ramanujan avesse mai avuto. Era premuroso, leale e gentile con lui, ma non erano intimi. Ramanujan viveva i suoi problemi in solitudine e conduceva una vita irregolare, non dormiva e non mangiava, tanto che finì con il minare la sua salute. Sotto la guida di Hardy era andato bene, ma non era felice. Aveva impiegato tutte le sue energie nella matematica. Perciò si spezzò. Tanto che arrivò a tentare il suicidio.
Forse per paura di arrivare tardi, Hardy lavorò per ottenere la sua nomina alla Royal Society e subito dopo ottenne l’elezione al Trinity: i riconoscimenti che gli erano stati accordati avevano risollevato lo spirito di Ramanujan.
Tornò in India nell’aprile del 1919, ma tornava in uno stato di salute alquanto precario e si ritrovò nella fossa dei serpenti della sua famiglia, una bolgia che ribolliva di risentimento. 
Per tutto l’anno trascorso in India, Ramanujan lavorò a nuove scoperte matematiche: le sue capacità intellettive si fecero in proporzione più acute e brillanti. Quattro giorni prima di morire stava ancora scarabocchiando. 
Per quanto riguarda la comunità matematica, Ramanujan continua a vivere: “Scoprì così tanto, eppure lasciò agli altri ancora tanto di più da scoprire del suo giardino” disse Dyson. 
Hardy morì nel 1947. E ancora a distanza di vent’anni, Ramanujan era rimasto parte di lui, un faro splendente, luminoso nella sua memoria. “Un uomo la cui carriera sembra piena di paradossi e contraddizioni, che sfida quasi tutti i canoni secondo i quali siamo abituati a giudicarci l’un l’altro e sul quale tutti probabilmente concorderemmo in un unico giudizio: che fu per certi versi un grandissimo matematico.”
 
COMMENTO:
Un libro interessante. Semplice anche per chi conosce poca matematica, visto che si tratta di una biografia. L’autore è riuscito, attraverso metafore e semplici esempi, a rendere l’idea del peso delle scoperte di Ramanujan. Molto scorrevole.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:12

L'infinito

TRAMA:
Nella realtà del mondo fisico, nulla parla d’Infinito: lo spazio, il tempo, la massa, il numero delle cariche subnucleari… si tratta di cose immense, di numero elevatissimo, ma non infinito. Eppure l’intelletto umano concepisce l’Infinito e ne subisce il fascino. Il posto d’onore, nell’indagine sull’Infinito spetta a Georg Cantor: “è lui che ha saputo trovare le chiavi di quello che il grande matematico David Hilbert definì il paradiso di Cantor”. 
Quest’avventura intellettuale è raccontata da Zichichi con una favola: in un luogo ed un tempo imprecisati, un Imperatore escogitò un nuovo metodo per rifornire di denaro le sue casse, dichiarando vincitore di un concorso colui che avesse raggiunto il massimo numero di cose in suo possesso. Qualsiasi cosa fosse. Il valore era irrilevante. In questo modo l’Imperatore avrebbe misurato la ricchezza dei suoi sudditi. Alla chiusura del concorso, i contabili dell’Imperatore non riuscirono a stabilire se fossero di più i cubetti d’oro del conte Alberto, le pietre preziose del Marchese Augusto o i numeri del notaio don Luigi. La principessa Cristina risolse il problema confrontando i tre numeri tramite una corrispondenza biunivoca: la conclusione fu che il premio andasse distribuito ex-aequo ai tre. Con loro la Principessa fondò una nuova accademia, il cui principale argomento di discussione era l’Infinito ed il confronto fra i vari livelli di Infinito.
Proseguendo nel ragionamento, i tre giunsero al teorema di Gödel, ovvero alla dimostrazione che non ci può essere certezza… nemmeno in matematica! Si era sempre creduto che un teorema potesse essere o vero o falso: in realtà, ci sono teoremi dei quali non è possibile decidere se siano veri o falsi. 
Il cammino verso l’Infinito viene poi sintetizzato da Zichichi in venti tappe, dalla comparsa dell’uomo sulla terra fino alla scoperta della matematica non cantoriana, da parte di Paul Cohen nel 1963. Il cammino si snoda tra la nascita della logica nel VI secolo a.C., la nascita dei numeri irrazionali e la scoperta delle infinite frazioni di uno da parte di Zenone, fino ad arrivare alla possibilità dell’Infinito Potenziale di Aristotele e all’infinità dei numeri primi da parte di Euclide. Galilei scopre che una parte è equivalente al tutto, nel caso dell’Insieme Infinito dei numeri interi, ma se ne lascia spaventare. È Cantor a scoprire i diversi livelli di Infinito e a proporre l’Ipotesi del Continuo, secondo la quale non esistono livelli intermedi di infinito tra “aleph-zero” e “aleph-uno”. Tale Ipotesi primeggia nell’elenco dei problemi matematici da risolvere proposti da Hilbert nel 1900, ma con la scoperta di Gödel del crollo della certezza, essa sembra non avere soluzione.
 
COMMENTO:
Zichichi non delude… come sempre! La favola ripercorre le varie tappe del cammino umano, che hanno portato a parlare di Infinito in maniera sempre più competente. Il libro è ottimo soprattutto per i ragazzi di quinta superiore, visti i molti riferimenti anche alla filosofia. 
È semplice e simpatico, soprattutto nelle prime due parti. Un po’ più complessa la terza parte.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:10

Il riso di Talete

TRAMA:
Proprio all’inizio del pensiero occidentale esplode una sonora risata di scherno nei confronti della scienza, quella della servetta tracia che vide Talete camminare a testa alta guardando le stelle e cadere in una buca. Talete è diventato l’archetipo dello scienziato ed “è ricordato in continuazione nella storia del pensiero occidentale con quell’aneddoto, che nelle sue varianti esprime i diversi atteggiamenti che si sono alternati o ripetuti nei confronti della ricerca del sapere”. Eppure, un sorriso incredulo e ironico è la reazione più comune all’accostamento tra matematica e umorismo: fa ridere l’idea che la matematica possa far ridere. L’immagine diffusa del matematico, infatti, è piuttosto deprimente: per il matematico e le sue creazioni sembra che l’unica descrizione popolare sia quella dei robot!
La matematica può essere oggetto di umorismo, attraverso barzellette, nelle quali i matematici dimostrano di non essere adatti alla vita quotidiana, emergendo dalle fantasticherie che inseguono nei loro pensieri, e aneddoti, spesso veri, nei quali la caratteristica più frequentemente messa in risalto è la distrazione, vista come complemento di una concentrazione eccezionale. I matematici stessi a volte producono umorismo, usando i particolari tecnici o i modi di dire e i vezzi tipici della professione. 
Esiste addirittura un settore di attività matematica connesso all’umorismo: i giochi matematici. Mentre le barzellette le capiscono solo i matematici, i giochi sono principalmente rivolti a fruitori non matematici, che però non si accorgono di fare matematica. Non sembrano diversi dai normali esercizi, ma divertono, perché rappresentano una sfida e la soluzione di solito presenta un elemento di sorpresa.
I caratteri dei giochi messi in luce si possono riassumere in una parola: creatività. Tale potenza creativa emerge in molte dimostrazioni che percorrono una via che non sembrerebbe matematica secondo l’immagine stereotipata, grazie anche alla rottura della fissità funzionale. 
Le opinioni su quale sia il ruolo dei paradossi divergono, ma nella storia ci sono stati diversi periodi in cui l’attenzione per i paradossi è stata molto viva. Non sembra possibile individuare un tipo unico di paradossi, anche se alcuni ingredienti sono costanti. Quello che accomuna tutti i paradossi è l’aspetto divertente, perché si tratta di sorprese.
Ne vengono elencati alcuni tipi:
  1. Paradossi del senso comune, che non bisogna essere troppo facilmente disposti a considerare paradossi. Alcune conseguenze delle moderne teorie fisiche, ad esempio, sono considerate paradossi.
  2. Paradossi della percezione, come le figure impossibili, le illusioni ottiche…
  3. Paradosso di Parmenide: il primo paradosso, quello che forse è alla base di ogni altro, ovvero il paradosso del non essere. Tale paradosso va inquadrato nell’evoluzione della lingua greca.
  4. Paradossi dell’autoriferimento, come il paradosso dell’ipocondriaco, la cui malattia consiste nell’aver paura di essere ipocondriaco.
  5. Paradossi di Zenone, il quale mostra che la molteplicità produce effetti contraddittori.
  6. Paradosso del sorite, ovvero quanti granelli di sabbia fanno un mucchio (sorite)?
  7. Paradosso del mentitore: è il paradosso per antonomasia: “Io sto mentendo”.
  8. Paradossi della decisione: il coccodrillo dice che mangerà il bambino se e solo se la madre non indovina che cosa il coccodrillo farà.
  9. Paradossi della probabilità, connessi ai giochi d’azzardo: dimostrano che il senso comune non ha niente a che vedere con la probabilità anzi sono quasi sempre in opposizione.
  10. Paradossi matematici: si distinguono dai precedenti, perché in generale c’è qualcosa da fare per neutralizzarli.
  11. Paradossi dei fondamenti, ovvero quei paradossi che sono venuti fuori all’inizio del secolo nel contesto della riflessione sui fondamenti della matematica.
 
COMMENTO:
Per alcuni passaggi complessi e riferimenti elaborati, il libro è forse più per gli addetti ai lavori e per coloro che hanno una cultura matematica abbastanza solida. La prima parte è più scorrevole rispetto alla seconda, che si riduce ad una noiosa elencazione dei diversi tipi di paradossi. Alcune volte i paradossi non sono spiegati molto bene, come se nemmeno l’autore ne avesse chiara la valenza.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:08

La crisalide e la farfalla

TRAMA:
Nella storia, si può subito constatare che ricorrono sempre i nomi delle stesse donne, con poche varianti: Ipazia, che fu uccisa nel 415 d.C. dai fanatici seguaci del vescovo Cirillo di Alessandria; Pandrosia, che richiama l’attenzione sul ruolo delle donne, che insegnavano matematica nell’antichità; Mme Du Châtelet, che ha il merito di aver tradotto e curato l’edizione di Newton in Francia; Maria Gaetana Agnesi, che rientra nella storia della diffusione del calcolo infinitesimale in Italia; Caroline Herschel, esempio di una completa abnegazione, visto che per quarant’anni lavorò per il celebre fratello astronomo; Sophie Germain, protetta da Lagrange, ebbe una corrispondenza con Gauss, che la ammirava molto; Augusta Ada King Byron, contessa di Lovelace, famosa perché diede il suo appoggio a Babbage per la costruzione della macchina analitica (linguaggio di programmazione Ada); Sof’ja Kovalevskaja, prima donna europea dopo il Rinascimento a conseguire una laurea in matematica; Grace Chisholm Young, l’allieva preferita da Klein; Emmy Noether, che ha aperto una nuova era in fisica e nelle relazioni tra fisica e matematica.
Anche le donne che per prime hanno raggiunto una meritata fama, nella seconda metà del secolo, registrano tutte nella loro carriera ostacoli, ostilità e umiliazioni: Julia Robinson, prima donna presidente della American Mathematical Society, ha dovuto superare non poche difficoltà; Mabel J. Barnes si sentì dire di rendersi il meno visibile possibile, perché a Princeton non erano abituati a veder girare le donne; Olga Taussky Todd raccomandava alle studentesse di non fare la tesi con lei, perché la tesi fatta con una donna sarebbe stata poco considerata; Pia Nalli fu gratuitamente sospettata di essersi fatta scrivere i propri lavori dal maestro Bagnera, anche dopo la di lui morte. 
Il presente potrebbe sembrare roseo a giudicare dai riconoscimenti pubblici, ma considerando gli inviti ai congressi, ad esempio, la situazione appare decisamente diversa. È fuor di dubbio che le carriere delle donne rispetto a quelle degli uomini sono più lente e raggiungono livelli inferiori. I professori, gli amministratori, gli studenti stessi sono più esigenti nei confronti delle donne, che finiscono per avere scarsa fiducia in se stesse e tendono a svalutare il proprio lavoro. Proprio per questo motivo l’età in cui le donne producono i loro migliori lavori è mediamente di dieci anni più avanzata rispetto a quella degli uomini. 
A livello scolastico, le donne hanno una resa significativamente superiore ai maschi, ma sembrano non emergere ai test attitudinali. Questo dato, comunque, è statisticamente significativo solo in alcuni paesi, inoltre in studi più rigorosi non emerge alcuna chiara indicazione di inferiorità o superiorità.
Fortunatamente, nessuno crede più, come nell’Ottocento, che man mano che si sviluppa il cervello, si atrofizzino le ovaie o che le donne di genio presentino frequentemente caratteri maschili: non si è trovato finora alcun determinante neurobiologico o genetico del vantaggio maschile, ammesso che ci sia, in matematica.
Le osservazioni sull’ambiente ostile e sulle discriminazioni sono ormai accettate da tutti, così come la necessità di azioni volte a rimuoverle. Se le donne continuano a sentirsi estranee in questo mondo, forse dipende da come esso è fatto: infatti, il pubblico generico vede la matematica come un fatto maschile e la comunità matematica stessa alimenta questa idea. La matematica appare come un insieme di regole e tecniche da applicare rigidamente e ciecamente, mentre le donne sono particolarmente disposte a sottolineare in ogni occasione l’aspetto emotivo del loro impegno. 
Forse l’unico modo per aumentare il numero di donne matematiche potrebbe essere quello di convincerle che la matematica è un’occupazione degna di loro, che è bella, che “è un investimento di passione, non un rifugio per la timidezza”.
 
COMMENTO:
Interessante e coinvolgente, tocca molti aspetti della discriminazione delle donne. Non è rivolto, quindi, solo ad amanti della matematica: la matematica è il punto di partenza, è lo spunto per parlare di un problema che è ancora attuale, nonostante le ribellioni del femminismo.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 21:05

Apologia di un matematico

TRAMA:
Secondo la presentazione di Snow, l’Apologia è un libro di una tristezza ossessionante anche se spiritoso e ricco di acume intellettuale. È il testamento di un artista creativo, l’appassionato lamento per la perdita di un potere creativo che c’era e che non tornerà più. Durante gran parte della sua vita, Hardy fu più felice della maggior parte di noi: la matematica era la sua ragione d’essere e forse fu proprio per questo che la tristezza lo colse solo verso la fine: quando si rese conto di essere in declino, di non riuscire più ad avere interesse per qualche cosa, tentò il suicidio, facendo una scelta perfettamente cosciente.
All’inizio dell’Apologia, Hardy dichiara di aver deciso di scrivere sulla matematica, perché, avendo superato la sessantina, sente di non avere più la capacità di continuare produttivamente nel suo lavoro. “Mi interrogherò sul vero valore di uno studio serio della matematica e sulla possibilità di giustificare una vita interamente consacrata a essa”.
Si propone di rispondere alla domanda se valga veramente la pena di dedicarsi alla matematica. Riconosce che le più grandi imprese dell’uomo hanno avuto come forza trainante l’ambizione e la matematica ispira il lavoro di ricerca che ha più probabilità di soddisfare la curiosità intellettuale, l’orgoglio professionale e l’ambizione stessa.
Uno dei requisiti fondamentali della matematica è la bellezza. Per definirla in qualche modo, basti sapere che per essere bella “una buona dimostrazione deve assomigliare a una costellazione semplice e nettamente delineata, non a un ammasso stellare”.
La migliore matematica non solo è bella, è anche seria. Per serietà si intende la significatività delle idee matematiche che il teorema mette in relazione: un teorema matematico serio porterà molto probabilmente grandi progressi non solo in matematica, ma anche nelle altre scienze. Per essere significativa, un’idea matematica deve essere generale, ovvero essere un elemento costitutivo di numerose costruzioni matematiche e profonda.
Per quanto concerne l’utilità della matematica: se per utilità intendiamo l’accrescere il “benessere materiale e fisico degli uomini”, favorendo la felicità, allora la matematica è utile in questo senso. Ma se intendiamo l’utilità dell’ingegneria o della medicina, solo una parte della matematica elementare risulta utile. Questa parte della matematica in complesso è piuttosto noiosa ed è proprio quella che ha minore valore estetico.
In altre parole, “non è possibile giustificare la vita di nessun vero matematico professionista sulla base dell’utilità del suo lavoro”. Eppure, ciò che è soprattutto utile della matematica è la tecnica e la tecnica matematica si insegna soprattutto attraverso la matematica pura: il matematico puro sembra essere in vantaggio sia sul piano pratico che su quello estetico. Inoltre, “quando il mondo impazzisce, il matematico può trovare nella matematica un rimedio incomparabile”.
 
COMMENTO:
Molto bella la presentazione di Snow, che aiuta a capire l’autore insieme all’opera. Questo libro mi ha molto coinvolta. Ho trovato molto difficile riassumerlo: avrei dovuto riscriverlo, per non perderne nemmeno una riga.
L’ho letto già due volte, ma credo che lo leggerò ancora e con grande piacere.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 20:17

L'uomo che amava solo i numeri

TRAMA:
Erdős nacque a Budapest il 26 marzo 1913. Figlio di due insegnanti di matematica delle superiori, divenne un asso con i numeri quando ancora faceva i primi passi. Lasciò l’Ungheria per la prima volta nel 1934, sotto la dittatura di Horthy e andò in Inghilterra per una borsa post-laurea: i quattro anni passati a Manchester furono, per quanto riguarda la matematica, un bel periodo, nonostante la grande nostalgia. 
Nel 1943, Ulam invitò Erdős ad unirsi allo sforzo bellico a Los Alamos, dove stavano costruendo armi atomiche. Erdős scrisse per dare la propria disponibilità, ma, avendo voluto sottolineare che c’era la possibilità che dopo la guerra tornasse a Budapest, non venne accettato. Gli piaceva provocare le autorità. 
Ottenne poi un part-time alla Purdue University: in questa occasione, i suoi colleghi scoprirono che aveva una profonda cultura anche al di fuori dell’ambito matematico. 
Nel 1948, per la prima volta dopo dieci anni, tornò a Budapest. Per Erdős fu un viaggio dolce e amaro allo stesso tempo, ma dovette ripartire in tutta fretta, quando Stalin cominciò a chiudere le frontiere. Fece la spola fra Stati Uniti e Inghilterra, ma quando, nel 1954, venne invitato ad un convegno di matematica ad Amsterdam, gli Stati Uniti non gli diedero il permesso di rientro. A quanto pare, le autorità statunitensi temevano che le lettere a un teorico dei numeri cinese, piene di impenetrabili simboli matematici, potessero essere messaggi cifrati. 
Erdős non era uomo da accettare che gli ponessero vincoli, perciò partì per Amsterdam. Sempre ottimista, si aspettava che i paesi dell’Europa occidentale sarebbero stati più gentili degli Stati Uniti e pensava che lo avrebbero lasciato viaggiare senza problemi. Ma trovò ostacoli anche in Europa.
Nel 1963, finalmente gli fu concesso di rientrare negli Stati Uniti e l’anno successivo la madre, seppur ottantaquattrenne, cominciò a viaggiare con lui. Viaggiare non le piaceva, ma voleva stare con lui: non faceva che preoccuparsi della salute del figlio e anche della sua sicurezza fisica. La madre morì nel 1971: subito dopo Erdős cominciò a prendere un sacco di pillole, prima antidepressivi e poi anfetamine. S’immerse nel lavoro per diciannove ore al giorno, sfornando saggi su saggi, destinati a mutare il corso della storia della matematica. A sua madre continuò a pensare per tutto il resto della sua vita.
L’aspetto stanco e malato di Erdős ingannò i suoi amici a lungo. Negli anni Quaranta, i suoi colleghi pensavano che la sua salute fosse così fragile che non sarebbe vissuto a lungo. Aveva un’aria debole e sembrava sempre malato. Solo negli ultimi dieci anni di vita diversi problemi di salute fecero perdere a Erdős un po’ della sua energia, anche se continuò a lavorare a un ritmo che, paragonato a quello degli altri matematici, era frenetico.
Morì il 20 settembre 1996. Il servizio funebre ufficiale fu uno dei più imponenti cui si fosse mai assistito in Ungheria. Vi presero parte oltre cinquecento persone, come se fossero stati i funerali di un capo di stato. 
Nel marzo del 1997, all’Università di Memphis, ci fu la 919^ Assemblea dell’American Mathematical Society. Questo convegno coincideva con il compleanno di Erdős e l’organizzatore invitò tutti a fermarsi a casa sua per una “festa dei sopravvissuti”. I più di 200 matematici convenuti si scambiarono aneddoti su Erdős. Ne emerse il profilo di un uomo che era sì un disastro nelle cose materiali, ma sempre gentile con la gente, pieno di attenzioni verso i bisognosi.
Prima di morire, Erdős riuscì a pensare a più problemi di qualunque altro matematico della storia: scrisse da solo o in collaborazione 1475 saggi accademici, collaborò con più persone di qualunque altro matematico della storia (ben 485) dimostrando che la matematica non è soltanto un gioco da ragazzi. Strutturò la sua vita per massimizzare il tempo da dedicare alla matematica. Si muoveva per quattro continenti a un ritmo frenetico, spostandosi da un’università o un centro di ricerca all’altro. 
Nel campo della matematica, lo stile di Erdős era di grande curiosità, uno stile che applicava a qualunque altra cosa cui si trovasse di fronte. Parte del suo successo di matematico veniva dalla tendenza a porre domande di base, a ponderare criticamente quanto altri davano per stabilito.
Erdős rinunciò al piacere fisico e ai beni materiali per una vita consacrata alla scoperta della verità matematica: per lui la matematica era un’ancora di salvezza in un mondo che egli, anche se credeva nella bontà e nell’innocenza delle persone comuni, considerava crudele e senza cuore. 
I numeri primi erano gli amici intimi di Erdős e il suo acume in materia di primi era tale che, a sentire di un nuovo problema al riguardo, spesso non tardava a superare chi aveva passato molto più tempo a pensarci. La più grande vittoria sui numeri primi Erdős la ottenne nel 1949, anche se non amava parlarne, perché fu anch’essa una vittoria inquinata da polemiche. Gauss aveva proposto una formula che descriveva la distribuzione statistica dei numeri primi ed essa era stata dimostrata nel 1896. Ma nel 1949 Erdős e Selberg ne diedero una dimostrazione elementare: a causa di un malinteso, si scatenò una battaglia per la priorità. Le battaglie per la priorità non sono rare in matematica, ma nel condividere idee matematiche con dei colleghi, Erdős era di una generosità rara. Il suo obiettivo, infatti, anche a detta dei suoi colleghi, era che qualcuno dimostrasse qualcosa, con lui o senza di lui: in questo modo, contribuì enormemente alla matematica. 
Erdős rimase sostanzialmente fedele ai campi della matematica in cui eccellono i bambini prodigio, il che non significa che i suoi interessi matematici fossero angusti: ha aperto interi nuovi campi della matematica. La sua specialità consisteva nel venir fuori con soluzioni brevi e brillanti. Era l’esperto della soluzione di problemi: finché fossero rimasti problemi da risolvere, non avrebbe mai abbandonato la lotta. Il suo stile consisteva nel lavorare su molti problemi contemporaneamente con colleghi sparsi ai quattro angoli del globo.
Una delle aree della matematica in cui Erdős è stato un pioniere è un settore filosoficamente affascinante del calcolo combinatorio detto teoria di Ramsey. L’idea sottesa a tale teoria è che l’assoluto disordine è impossibile. Graham, suo intimo amico, ritiene che possano passare secoli prima che gran parte del lavoro suo e di Erdős nella teoria di Ramsey trovi significative applicazioni in fisica, ingegneria o in qualunque ambito del mondo reale.
 
COMMENTO:
Interessante excursus attraverso la storia della matematica, vista dagli occhi di uno dei più grandi matematici. Lettura scorrevole e semplice anche per i non addetti ai lavori. 
L’aspetto interessante è il fatto che, accanto alla storia della vita di Erdős, ci sono anche ampi brani riguardanti la storia della matematica, dalla soluzione dell’Ultimo Teorema di Fermat alla vita del migliore amico di Erdős, Graham, con il quale collaborò per gran parte della sua vita.
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Mercoledì, 31 Luglio 2013 19:54

Il computer di Dio

TRAMA:
Molti stentano a credere che la matematica possa essere accomunata alle discipline umanistiche, ma in realtà sono due visioni complementari di una stessa realtà. La matematica collega i due mondi, essendo umanistica nei contenuti (descrive e inventa mondi possibili) e scientifica nel metodo (in quanto usa la logica). Inoltre la matematica è il linguaggio della scienza e, per questo motivo, del mondo contemporaneo.
Domandarci esplicitamente dove stia andando la matematica significa domandarsi in realtà dove stiano andando le scienze e, con esse, il mondo tecnologico e la civiltà occidentale. 
Nel Novecento, la matematica è andata incontro a una produzione sterminata e verrebbe quasi da pensare che non sia rimasto più nulla da dimostrare, mentre in realtà ci sono molte branche nuove della matematica, come la teoria dei giochi e la teoria della complessità. 
I campi esplorati in termini matematici sono: politica, religione, arte, letteratura, giochi, filosofia, logica, aritmetica, geometria, scienza e tecnica.
 
COMMENTO:
Un libro interessante, anche se non sempre di facile lettura. Ottimo per gli studenti, soprattutto in vista dell'esame di stato, visto che crea presenta numerosi collegamenti tra la matematica e le altre discipline. Accessibile anche per chi non ha una preparazione matematica di elevato livello.
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