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Rudimathematici

matematicamente
LE COORDINATE NEL PIANO CARTESIANO
1 Determina il valore di k, perché, dati i punti A (2k – 1; 3k – 5) e B (k – 2; 2k – 6), sia
2 Dati i punti A (1; 3), B (3; 4) e C (a; 1), determina il valore di a in modo che il triangolo ABC risulti isoscele sulla base AB.
3 Determina le coordinate del baricentro G e del circocentro C del triangolo OAB di vertici O (0; 0), A (3; 2) e B (6; – 4).
4 Calcola il perimetro del triangolo di vertici: A (3; –5), B (3; 4), C (–1; 7).
5 Verifica che il quadrilatero ABCD, di vertici A (2; 2), B (8; –2), C (10; 1), D (4; 5), è un rettangolo.
6 Un rettangolo ABCD ha i lati paralleli agli assi coordinati, il centro nell’origine O e un vertice nel punto di coordinate (3; –8). Trova le coordinate degli altri vertici e calcolane perimetro, area e misura delle diagonali.
7 Dati i tre punti A (1; 1), B (5; 3), C (7; 7), calcola MN con M ed N rispettivamente punti medi dei segmenti AB e BC e verifica che 2 MN = AC.
8 Dati due vertici di un triangolo ABC e il baricentro G, determina il terzo vertice. A (0; –5), B (–2; 7), G (1; 1).
9 Determina i valori di a e b affinché il triangolo di vertici A (2a + 1; 3), B (4a; 2b), C (–1; b + 6) abbia per baricentro il punto G (3; 3).
10 Determina l’area del triangolo ABC sapendo che A (4; –1), B (6; 5), C (–2; 9).
11 Determina i punti dell’asse x aventi distanza uguale a dal punto A (2; –2)
12 Determina le coordinate dei punti aventi l’ascissa uguale a 1/3 dell’ordinata e che distano 1 dal punto (1; 0).
13 Dato il punto A (3; 9), determina le coordinate dei punti M aventi ordinata tripla dell’ascissa e tali che: .
14 Sono dati i punti A (2; 3) e B (5; 3). Determina un punto C in modo che il triangolo ABC sia rettangolo in B ed abbia per area 15/2.
15 Il triangolo ABC ha per vertici i punti A (2; 1), B (-4; 7/2) e C (-16/5; -29/10). Verifica che il triangolo è isoscele e determinane perimetro e area.
16 Calcola le coordinate del punto P posto sull'asse x ed equidistante dai punti A (1; 3) e B (5; 1).
17 Dati i punti A (2; 4), B (9; 2) e C (x; 47/4), determina x in modo che il triangolo ABC sia isoscele sulla base AB.
18 Dati i punti A (-3; -1), B (0; 5) e C (-x; 4 - x), determina x in modo che il triangolo ABC abbia area 9.
19 Dati i punti A (2; a - 1) e B (a + 2; 3a), stabilisci per quale valore del parametro a il punto medio del segmento AB ha le coordinate uguali.
20 Determina a in modo che il punto medio del segmento di estremi A (2a - 1; 1) e B (a; (a - 2)/2) disti dall'origine.
21 Dati i punti A (1; 2) e D (k; k + 1), per quali valori di k si ottiene ?
22 Nel triangolo di vertici A (7; 4), B (2; 1), C (9; - 2) trova la distanza del vertice A dal baricentro.
Esercizi da 1 a 8 - da 9 a 14 - da 15 a 22
   
   
LA RETTA
1 Scrivi l’equazione della retta di coefficiente angolare 2/3  che interseca l’asse y nel punto A (0; – 3).
2 Verifica se i punti A (2; – 1) e B (1; – 1) appartengono alla retta di equazione y = 2 x - 3.
3 Verifica se le rette di equazione x + y - 1 = 0  e 2 x + 2 y + 5 = 0  sono parallele.
4 Verifica se le rette di equazione x - 3 y + 1 = 0  e 6 x + 2 y - 5 = 0  sono perpendicolari.
5 Scrivi l’equazione della retta passante per il punto A (– 2; 7) e parallela alla retta di equazione y = 2 x - 5.
6 Scrivi l’equazione della retta passante per il punto P (0; – 2) e perpendicolare alla retta di equazione
x - 2 y - 4 = 0.
7 Scrivi l’equazione della retta passante per i punti A (3; 2) e B (0; 1).
8 Determina il coefficiente angolare della retta passante per i punti A (– 2; 0) e B (1; 3).
9 Calcola la distanza del punto P (2; 5) dalla retta di equazione 2 x - 3 y + 1 = 0.
10 Data la retta di equazione 2 x - 5 y = 14  determina l’equazione della retta perpendicolare ad essa, condotta per il punto A (4; – 7); determina inoltre le coordinate del piede H di tale perpendicolare.

11

Scrivi le equazioni delle rette t e t’ che si incontrano nel punto A (3; 2) e sono rispettivamente parallele alle rette:
x - 3 y + 9 = 0 e 5 x + 6 y - 14 = 0. Determina quindi:

  1. l’equazione della retta r passante per l’origine e per il punto T (6; 4);
  2. l’equazione della retta s perpendicolare alla retta r in O;
  3. l’intersezione B di s con la retta x - 3 y + 3 = 0;
  4. il perimetro del triangolo OAB;
  5. stabilisci se tale triangolo è rettangolo.
12 Verifica che il quadrilatero di vertici A (4; 2), B (10; 8), C (12; 1), D (6; -5) è un parallelogrammo.
13 Dato il triangolo di vertici O (0; 0), A (5; 3) e B (-6; 10), determina le misure dei suoi lati e verifica che è un triangolo rettangolo. Verifica inoltre che la mediana relativa all’ipotenusa è uguale alla metà dell’ipotenusa stessa.
14 Un triangolo rettangolo ha come ipotenusa il segmento di estremi O (0; 0) e A (10; 0) mentre il terzo vertice B ha ascissa 2. Determina l’ordinata di B.
15 Un triangolo isoscele ABC, di base AB, ha i vertici nei punti A (2; 0), B (6; 2), mentre l’ordinata di C è 8. Trova l’ascissa di C.
16 Verifica che, congiungendo i punti medi dei lati del quadrilatero di vertici A (-2; 1), B (-2; 4), C (2; 9) e D (4; 1), si ottiene un rettangolo.
17 Sull’asse x, determina il punto P equidistante dall’origine e dal punto A (8; 4).
18 Determina un punto A (m; 1), situato nel primo quadrante, la cui distanza dall’origine O sia doppia della distanza da O del punto B (-3/2; 2).
19 Determina le coordinate dei punti che hanno ascissa doppia dell’ordinata e la cui distanza dall’asse x è uguale a 3.
20 Dati i punti A (-1; -2), B (7;0), C (7; 4), D (5; 6), verifica che, detti rispettivamente M, N, P, Q i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA, si ha MN = PQ e QM = PN. Verifica inoltre che il perimetro del parallelogrammo MNPQ è uguale ad AC + BD.
21 Determina il punto di intersezione P dell’asse del segmento AB, di estremi A (4; 0) e B (0; -6) e dell’asse del segmento CD, di estremi C (-3; 0) e D (0; -4).
22 Trova l’equazione della retta passante per l’origine e perpendicolare alla retta che congiunge i punti A (-1; 6) e B (5; 4).
23 Dopo aver verificato che i punti O (0; 0), A (4; 6), B (13; 0), C (12; -8), presi nell’ordine, sono i vertici di un trapezio rettangolo, verificare che la parallela alle basi, condotta per il punto medio M di un lato obliquo, passa per il punto medio N del lato opposto e che, detti P e Q i punti medi delle due basi, i segmenti MQ e PN sono paralleli.
24 Conduci per il punto A (0; 6) la parallela e la perpendicolare alla retta di equazione x + 3 y = 6 ed indica con B e C i loro punti di intersezione con l’asse x. Calcola l’area del triangolo ABC.
25 Calcola l’area del parallelogrammo OBCA conoscendo i suoi tre vertici consecutivi O (0; 0), B (3; -1), C (5; 1).
26 Trova le equazioni delle rette uscenti dall’origine O degli assi coordinati che hanno distanza 5 dal punto
A (1; - 7).
27 Trova l’equazione della retta che passa per il punto P d’intersezione delle due rette x + y = 0 e 2 x - y + 3 = 0 ed è parallela alla retta y = 3 x - 1.
28 Dato il triangolo di vertici A (-2; 3), B (0; 5), C (2; -2), trova l’equazione della retta che passa per C ed è parallela alla mediana uscente da A.
29 Trova l’equazione della retta che passa per il punto P d’intersezione delle due rette y = 2x e 2y – 3 = 0 ed è perpendicolare alla retta x + y – 1 = 0.
30 Determina l’equazione dell’asse del segmento di estremi A (2; 0) e B (–4; 2).
31 Determina l’area del quadrilatero di vertici A (–3; –2), B (–1; 3), C (4; 0), D (4; –5).
32 Verifica che il triangolo di vertici A (2; 1), B (3; 4), C (9; 2) è rettangolo e calcolane perimetro e area.
33 Trova il punto dell’asse x equidistante dai punti A (–3; 1) e B (9; 5).
34 Trova il punto che è equidistante dai punti A (–4; 2), B (0; 6) e che è equidistante dai punti C (6; 6), D (8; 2).
35 Le rette x – 2y = 0 e 2x – y – 3 = 0 sono i due lati consecutivi di un parallelogrammo. Determina le equazioni degli altri due lati sapendo che il vertice C opposto a quello individuato dalle rette date ha coordinate (5; 4).

36

 Date le tre rette di equazione 4x + y + 1 = 0, 6x – 4y – 15 = 0, (2a – 1) x + ay + 3 – 4a = 0, determina a affinché passino tutte per uno stesso punto.
37 Siano O (0; 0), A (2; 4) e B (10; 0) i tre vertici consecutivi del parallelogramma OCBA; si chiedono le coordinate di C e si verifichi che il parallelogramma è un rettangolo. Determinare poi il quarto vertice E del parallelogramma di diagonale AO e vertici E, O, C, A e verificare che tale parallelogramma è equivalente al rettangolo OCBA.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)

38

 Determinare le equazioni dei lati del rombo ABCD avente le diagonali sugli assi cartesiani e il lato AB di vertici A (0; 4) e B (-8; 0). Sia D sull’asse x. Detto H il piede della perpendicolare condotta da B alla retta AD, verificare che il quadrilatero HBOA è inscrittibile in una circonferenza di cui si chiedono centro C’ e raggio r. Si calcoli l’area e il perimetro del quadrilatero HBOA.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)

39

 Detti A e B i punti d’intersezione con gli assi x e y della retta r: x – 2 y + 4 = 0, determinare i vertici C (appartenente al 2° quadrante) e D dei triangoli isosceli di base AB e area 10. Determinare inoltre:
a) l’area del cerchio inscritto nel rombo ACBD
b) l’area del cerchio inscritto nel triangolo ABC
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)

40

 Verificare che il quadrilatero di vertici A (1; -1), B (4; 1), C (9/4; 2) e D (3/4; 1) è un trapezio isoscele. Detto E il punto d’incontro delle rette AD e BC, verificare che esso appartiene all’asse del segmento AB e determinare l’area del triangolo EDC e l’area del trapezio ABCD.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
41 Scritte le equazioni delle rette r ed r’ passanti per A (0; 1) e rispettivamente parallela e perpendicolari alla bisettrice del 1° e 3° quadrante, determinare l’area del triangolo limitato da r ed r’ e dalla retta y = 2x – 3.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
42 Dopo aver determinato l'equazione dell'asse del segmento di estremi O (0; 0) e A (2; -1), verifica che il punto
(0; -5/2) appartiene a esso, mentre non vi appartiene il punto (3; 3). Calcola l'ordinata del punto dell'asse che ha ascissa 2.
43 Determina l’ordinata del punto A di ascissa - 3 appartenente alla retta passante per l’origine e di coefficiente angolare 2/5.
44 Sia data la retta di equazione 2y - x - 6 = 0. Sia A il punto della retta di ascissa -1 e B quello di ordinata 4. Calcola la misura del segmento AB.
45 Di un parallelogrammo ABCD si conoscono i vertici consecutivi A (1; 1), B (5; 2) e C (3; 4). Determina il quarto vertice D.
46 Dati i punti A (1; 3) e B (5; 1), scrivi l’equazione della retta r, asse di AB. Sia C il punto di intersezione di r con l’asse x e D quello di intersezione di r con l’asse y. Determina la misura dell’area del quadrilatero concavo ACBD.
47 Verifica che la parallela condotta per il punto (-1; 3) alla retta che congiunge i punti (5; 2) e (1; - 2) determina con gli assi cartesiani un triangolo di area di misura 8.
48 Verifica che il quadrilatero avente per vertici i punti A (1; 0), B (6; 0), C (9; 4) e D (4; 4) è un rombo.
49 Per il punto A (2; 3), conduci la parallela e la perpendicolare alla retta 2x - y - 4 = 0 e determina la misura del perimetro del triangolo da esse formato con la retta x = 4.
50

Determina k in modo che la retta (k - 1) x + y + k - 2 = 0:
a) risulti parallela all'asse y;
b) risulti parallela all'asse x;
c) passi per l'origine degli assi;
d) passi per A (1; 2);
e) non passi per B (-2; 3);
f) passi per C (-1; 3);
g) passi per E (-1; 1).

51 Dato il fascio di equazione (a - 2) x + (1 - 2a) y + 1 = 0 determina per quale valore di a essa è:
a) parallela alla retta 2x -y - 1 = 0;
b) perpendicolare alla retta 3x - y + 1 = 0;
c) parallela alla bisettrice del 1° e 3° quadrante;
d) parallela alla retta x - 2y + 1 = 0;
e) passante per l'origine degli assi cartesiani;
f) una retta che forma un angolo acuto con il semiasse positivo dell’asse x.
52 Determina il valore di a per il quale le due rette x + a y = 5 e 2x - 3y = 1 non hanno intersezioni.
53 Determina i valori di a e b affinché le due rette x - 3y - 5 = 0 e ax + by = 10 abbiano infiniti punti comuni.
54 Nel fascio improprio di rette perpendicolari alla retta di equazione 5x - 7y + 9 = 0, individua quella che taglia l’asse delle ascisse nel punto di ascissa 2.
55 Scrivi l’equazione di tutte le rette perpendicolari alla retta di equazione 2x + 5y - 3 = 0 e tra queste determina quella passante per il punto P (- 1; 1).
56 Scrivi l’equazione del fascio di rette passanti per A (- 4; 1).
57

Scrivi l’equazione della retta passante per l’intersezione delle rette x - 2y + 5 = 0 e 5x + y + 3 = 0 e parallela alla retta 3x + y - 1 = 0.

Esercizi da 1 a 11 - da 12 a 21 - da 22 a 30 - da 31 a 36 e 41 - da 42 a 49 - da 50 a 57
   
   
LA CIRCONFERENZA

1

 Scrivi l’equazione della circonferenza che ha per diametro il segmento AB con A (1; 0) e B (3; 2).
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)

2

 Scrivi l’equazione della circonferenza avente centro in (1; 3) e tangente alla retta t di equazione: 4x - 5y + 1 = 0.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
3 Scrivi l’equazione della circonferenza passante per A (1; 4) e B (-2; 1) e avente il centro C sulla retta
3x - y + 4 = 0. Determina inoltre l’area del triangolo ABC.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
4 Scrivi l’equazione della circonferenza passante per il punto (6; 4) e avente centro in (3; 0).
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
5 Calcola il perimetro e l’area del rettangolo inscritto nella circonferenza di centro C (1; 1) e raggio √10 avente un lato sulla retta x – 2 y + 6 = 0.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
6 Dato il quadrato ABCD di vertici A (-1; 2), B (4; 2), C (4; 7) e D (-1; 7), scrivi le equazioni delle circonferenze inscritta e circoscritta.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)

7

 Dopo aver verificato che il triangolo di vertici A (1; -1), B (3; 1) e C (-1; 3) è isoscele, scrivi l’equazione della circonferenza ad esso circoscritta.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)

8

 Dopo aver determinato i punti A e B d’intersezione tra la circonferenza avente per centro l’origine e raggio uguale a 2 con la bisettrice del 1° e 3° quadrante, detto C uno dei due punti d’intersezione con l’asse y, determina l’area del triangolo ABC.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
9 Assegnata la circonferenza di equazione x2 + y2 – 2x – 4y – 20 = 0 e la retta r di equazione y = x, determina il centro P0 della circonferenza e i punti P1 e P2 d’intersezione di r con la circonferenza. Trova l’area del triangolo P0P1P2.
10 Scrivi l’equazione della circonferenza tangente nell’origine alla retta 3x – y = 0 e passante per P (0; -53/13).
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
11 Scrivi l’equazione della circonferenza avente per tangente nell’origine la bisettrice del 2° e 4° quadrante e tangente alla retta x = 2y – 5.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
12 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 – 8x – 4y + 10 = 0, sia D il suo centro. Le tangenti condotte dall’origine O toccano la circonferenza in A e B. Trova l’equazione della circonferenza passante per O, A, B dopo aver verificato che ha per diametro OD.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
13 Determina l’equazione della circonferenza tangente nel punto A (4; 1) alla retta di equazione r: 3x – 4y – 8 = 0 e passante per B (5; 3). Verifica che la circonferenza è tangente all’asse y nel punto (0; 3).
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
14 Determina l’equazione della circonferenza che passa per i punti A (1; 1), B (1; 7), D (8; 8) e le equazioni delle tangenti alla circonferenza passanti per l’origine.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
15 Determina l’equazione della tangente nel punto A (-2; 1) alla circonferenza x2 + y2 = 5. Trova inoltre le coordinate dei punti P e Q in cui questa tangente incontra la circonferenza di equazione: x2 + y2 – 6x – 12y + 35 = 0 e verifica che le tangenti a questa circonferenza in P e Q sono perpendicolari tra loro.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
16 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 = 1 e la retta r: 2x – y + 1 = 0, calcola le coordinate dei punti di intersezione A e B. Scrivi le equazioni delle perpendicolari a r nei punti A e B e, indicate con C e D le ulteriori intersezioni di tali perpendicolari con la circonferenza, calcola l’area del quadrilatero ABCD.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
17 Determina i punti di intersezione tra la retta r : x + y + 2 = 0 e la circonferenza x2 + y2 - 4 = 0.
18 Trova i punti di intersezione tra la circonferenza x2 + y2 - 4 x + 2 y + 3 = 0 e gli assi cartesiani.
19 Scrivi l’equazione della retta tangente alla circonferenza x2 + y2 - 2 x + 4 y + 1 = 0 nel punto P (3; -2).
20 Scrivi le equazioni delle tangenti condotte dal punto A (2; -4) alla circonferenza x2 + y2 - 4 x - 2 y = 0.
21 Sia data la circonferenza di centro (3; 0) , passante per l’origine degli assi. Scrivi le equazioni delle tangenti alla
circonferenza passanti per P (9; 0) .
22 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 - 10 x + 6 y - 56 = 0 , determina l’equazione della retta tangente nel
punto M (8; 6) , dopo aver verificato che M si trova sulla circonferenza data.
23 Data la circonferenza di equazione x2 + y2 – 8 x – 4 y + 10 = 0 sia D il suo centro. Le tangenti condotte dall’origine O toccano la circonferenza in A e B. Trovare l’equazione della circonferenza passante per O, A, B dopo aver verificato che ha per diametro OD.
24

Determinare l’equazione della circonferenza tangente nel punto (4; 1) alla retta di equazione 3 x – 4 y – 8 = 0 e passante per (5; 3). Verificare che la circonferenza è tangente all’asse y nel punto (0; 3).
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
Esercizi da 1 a 7 - da 8 a 13 - da 14 a 19 - da 20 a 24
   
   
LA PARABOLA
1 Scrivi l’equazione della parabola ad asse verticale che ha vertice V (0; 3) e fuoco F (0; 6) e rappresentala.
2 Scrivi l’equazione della parabola ad asse verticale di vertice V (2; 1) e passante per l’origine e rappresentala.
3 Determina i punti di intersezione tra la retta r : y = x - 1 e la parabola y = x2 - 2 x + 1.
4 Scrivi l’equazione della tangente alla parabola di equazione y = 2 x2 - 18 passante per il suo punto A (3; 0).
5 Scrivi le equazioni delle tangenti alla parabola y = - x2 + 2x + 3 condotte dal punto P (1/2; 6).
6 Data la parabola y = - x2 + 4 x - 1 e la retta di equazione 2 x - y + k = 0 , determina per quale valore di k la retta risulta tangente alla parabola.
7 Determina l’equazione della parabola passante per il punto (1; 2) , avente vertice nel punto (2; 3/2) e con asse parallelo all’asse y.
8 Scrivi l’equazione della retta tangente alla parabola y = 4 x2 - 1 nel suo punto di ordinata 0.
9 Scritta l’equazione della circonferenza tangente in O alla retta t: 2x – y = 0 e passante per A (2; 0), determinare l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse y, con vertice nel centro C della circonferenza e passante per l’origine O.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
10 Dati i punti A (0; 5) e B (-6; 3), detto C il punto d’intersezione dell’asse del segmento AB con l’asse y, determinare l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse x e passante per A, B e C.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
11 Determina se esistono punti di intersezione fra la parabola di equazione y = ½ x2 – x + 4 e la retta
4 x – 5 y – 20 = 0.
12 Dato il fascio di rette y = 4 x + k, determina il valore di k per cui la retta sia tangente alla parabola y = 3 x2 – x – 1.

13

 Dal punto P (–2; 5) conduci le tangenti alla parabola y = 4 x2 – 3 x  – 1.
14 Dal punto P (1; 1) conduci le tangenti alla parabola y = 3 x2 – x  – 1.
15 Determina l’equazione di una parabola, con l’asse parallelo all’asse y, sapendo che passa per i punti A (–1; 1) e B (2; 1) ed è tangente alla retta r di equazione y = –x + 3.
16 Conduci una retta tangente alla parabola y = 6 x2 – 7 x + 1 e parallela alla retta 5 x – y = 0.
17 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, avente il vertice nel punto V (1; 4) e tangente alla retta di equazione y = 2x + 3.
18 Scrivi l’equazione della parabola con asse parallelo all’asse y, passante per i punti A (1; – ½) e B (½ ; 0) e tangente all’asse x.
19 Determina la parabola con asse parallelo all’asse y passante per i punti A (0; 1), B (2; 2) e C (4; 5). Scrivi quindi l’equazione della tangente ad essa nel punto di ascissa 1.
20 Date le parabole di equazione y = x2 – x e y = - ½ x2 + 2 x – 3/2, verifica che le due parabole sono tangenti in un punto A e determinane le coordinate.
21 Determina la parabola con asse parallelo all’asse x che passa per l’origine e per i punti A (0; 4) e B (–4; 2).
22 Determina la parabola con asse parallelo all’asse x, che ha il vertice nel punto di intersezione delle due rette
x + y – 2 = 0, x – y + 4 = 0 e passa per il punto P (0; 2).
23 Determina la parabola con asse parallelo all’asse x che ha come fuoco il punto F (– ½; 0) e come direttrice la retta di equazione 2 x – 1 = 0.
24 Determina il punto d’incontro delle due tangenti alla parabola di equazione 2 y + x2 – 7 x + 4 = 0 condotte per i punti comuni ad essa e alla retta di equazione x – 2 y + 1 = 0.
25 Data la parabola di equazione: y = x2 – 7x + 10, trova la misura del segmento che essa determina intersecando la retta di equazione y = x + 3.
26 Scrivi l’equazione della retta passante per i punti di intersezione delle due parabole: y = 2 x2 + x – 1 e
y = x2 + 3 x + 2.
27 Data la parabola di equazione: y = – x2 + 8x – 7 e la retta y = x, che taglia la parabola nei punti P e Q, trova l’area del trapezio che ha per basi le perpendicolari condotte da P e da Q all’asse delle x.
28 Tra le parabole di equazione y = a x2 – (a – 1) x + 2, trova quella il cui vertice ha l’ascissa doppia dell’ordinata.
29 Trovo l’equazione della parabola, con asse parallelo all’asse y, che passa per A (0; 1) e B (–1; –1), punto in cui è tangente alla retta y – x = 0.
30 Trova le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equazione y = – x2 + 4 x nei suoi punti d’intersezione con l’asse delle ascisse; trova poi l’area del triangolo formato dalle rette tangenti e dall’asse delle ascisse.
Esercizi da 1 a 8 - da 9 a 15 - da 16 a 22 - da 23 a 28 - da 29 a 30
     
     
L'ELLISSE
1 Dati a = 5 e b = 3, determina l’equazione di un’ellisse che abbia a e b come semiassi. Determina inoltre i fuochi e rappresentala.
2 Determina l’equazione dell’ellisse sapendo che a = 10 e che i fuochi hanno coordinate (±8; 0).
3 Data l’ellisse 4 x2 + 9 y2 = 144, rappresentala, determinane i fuochi e l’eccentricità.
4 Determina le intersezioni della retta x – 2 y = 1 con l’ellisse di vertici A (5; 0) e B (0; 2).
5 Determina l’equazione dell’ellisse avente l’asse maggiore sull’asse x, la distanza focale uguale a 6 e passante per il punto P (4; 12/5).
6 Determina l’equazione dell’ellisse avente fuoco in F (4; 0) ed eccentricità 2/3.
7 Determina l’equazione dell’ellisse avente un vertice in (0; 3) e un fuoco in (4; 0).
8 Determina l’equazione dell’ellisse avente fuochi in (4; 0) e l’asse maggiore lungo 10.
9 Determina l’equazione dell’ellisse di eccentricità e passante per .
10

Determina l’equazione dell’ellisse passante per P (2; 2) e Q (-1; 3).
11 Nell’ellisse di equazione , determina b in modo che risulti tangente alla retta y = - 3/4 x + 3
12 Un’ellisse passa per i punti A (-1; 5) e B (3; 4). Calcola l’equazione dell’ellisse e l’equazione della tangente all’ellisse passante per A.
13 Data l’ellisse di equazione 4 x2 + 25 y2 = 100, dopo averla rappresentata graficamente, determina k in modo che la retta y = k x + 6 sia tangente all’ellisse.
14 Scrivi l’equazione dell’ellisse passante per il punto A (1;3) e avente il semiasse maggiore (sull’asse y) uguale a 2 √3. Determina inoltre l’equazione della tangente nel punto B (1; -3).
15 Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto (1; 2) e tangenti all’ellisse x2 + 4 y2 – 4 = 0.
(L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni, Matematica Uno, Etas, ISBN 88-451-7709-2)
16

Data l’ellisse x2 + 4 y2 = 4, scrivi le equazioni delle tangenti:

  1. uscenti dal punto P (3; 0)
  2. uscenti dal punto Q (2; 2)
  3. uscenti dal punto T (1; √3/2)
17 Determina l’equazione dell’ellisse avente l’asse minore sull’asse x e lungo 6 e la distanza focale uguale a 4.
18 Determina le coordinate dei punti di intersezione dell’ellisse con i fuochi sull’asse x, i cui assi misurano 2 √52 e 2 √13, con la retta di equazione x – 2y + 2 = 0.
19 Determina le intersezioni dell’ellisse: 3 x2 + 5 y2 = 57 con la retta 2y + 3x = 0.
20 Scrivi l’equazione della tangente all’ellisse di equazione 2 x2 + 5 y2 = 50, nel suo punto del primo quadrante di ascissa 3.
21 Scrivi l’equazione dell’ellisse di vertice A (5, 0) e fuoco F (3, 0) e rappresentala.
22 Scrivi l’equazione dell’ellisse passante per i punti A (0, 1) e B (3, 0) e rappresentala.
23 Scrivi l’equazione dell’ellisse passante per i punti P (4, 2) e Q (2; √13) e rappresentala.
24 Scrivi l’equazione della retta tangente all’ellisse di equazione 5 x2 + 3 y2 = 47 nel suo punto P (2, 3).
25 Scrivi l’equazione della retta tangente all’ellisse di equazione x2 + 2 y2 = 18 nel suo punto A (2; √7).
26 Trova le intersezioni della retta 2 x – y + 4 = 0 con l’ellisse avente a = 1 ed i fuochi F ( ±√2/2 ; 0).
27

Trova le coordinate degli eventuali punti di intersezione della retta di equazione 2 x + 3 y – 6 = 0 con l’ellisse di equazione 4 x2 + 27 y2 = 27.
28 Determina l’equazione della tangente condotta all’ellisse 3 x2 + y2 = 3 nel punto P (2, 0).
29 Determina l’equazione della tangente condotta all’ellisse 16 x2 + 25 y2 = 400 nel punto P (5, 0).
30 Determina il valore di m dell’equazione x + y + m = 0, in modo che le rette corrispondenti risultino tangenti all’ellisse 9 x2 + 16 y2 = 144 e fanne la verifica grafica.
Esercizi da 1 a 9 - da 10 a 15 - da 16 a 22 - da 23 a 30
   
   
L'IPERBOLE
1 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente i vertici in (±3; 0) e i fuochi in
(±5; 0).
2 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente fuochi in (0; ±√37) ed eccentricità √37.
3 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente vertici in (0; ±√2) ed eccentricità √3/√2.
4 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente i vertici in (0; ±4) e i fuochi in
(0; ±2√5)
5 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente fuochi in (0; ±5) e passante per il punto (√3; 4√2).
6 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente come asse traverso l’asse x, eccentricità √13/3 e passante per il punto (4; 2√7/3).
7 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente i vertici in (±1; 0) e passante per il punto (4; √5).
8 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente come asse focale l’asse x e passante per i punti (–3; –2) e (√6; √2).
9 Determina l’equazione dell’iperbole riferita ai suoi assi di simmetria, avente come asse focale l’asse x, passante per (5; 3/4) e avente come asintoti le rette y = ±1/4 x.
10 Determina l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi assi di simmetria e passante per il punto (4; 1).
11

Determina l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti, passante per il punto (1; 2).
12 Determina l’equazione dell’iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti, avente vertice in (2; 2).
13 Determina l’equazione dell’iperbole equilatera traslata avente centro di simmetria nel punto (1; –3) e passante per il punto (–1; –1).
14 Determina l’equazione dell’iperbole equilatera traslata avente per asintoti le rette x = – 8 e y = – 5 e passante per (4; – 7/6).
15 Determina le coordinate dei punti di intersezione fra l’iperbole 2 x2 – y2 = – 4  e la retta y = x√6.
16 Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole x2 – 9 y2 = 9 e parallele alla bisettrice di secondo e quarto quadrante.
17 Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole 4x2 – y2 – 9 = 0 nei suoi punti di ascissa 2.
18 Scrivi le equazioni delle rette tangenti all’iperbole 3 x2 – y2 = 1 condotte dal punto (0; 1).
19 Determina per quali valori di h reale la retta del fascio y = 2 x + h interseca l’iperbole x2 – y2 = 9.
20 Scrivi l’equazione dell’iperbole avente un vertice in (4; 0) ed eccentricità uguale a 9/8.
21 Scrivi l’equazione dell’iperbole che ha vertice in (√2; 0) e passa per P (– √3; √6).
22 Scrivi l’equazione dell’iperbole (riferita ai propri assi) avente l’asse x come asse traverso, per asintoti le rette
2x ± 3y = 0 e passante per il punto P (9/2; √5).
23

Scrivi l’equazione dell’iperbole con i fuochi sull’asse x, sapendo che:

  1. passa per (3√2; 1) e per (–6; √3);
  2. passa per ( –3; 2) e (4; –3);
  3. ha per vertice (–1; 0) e per fuoco (√10; 0);
  4. ha per vertice (0; 4) e per fuoco (– √41; 0).
24 Scrivi l’equazione dell’iperbole riferita agli assi, con asse focale sull’asse x, sapendo che a + b = 17 e che la distanza focale è 26.
25

Determina le coordinate degli eventuali punti comuni alla retta e all’iperbole di equazioni:

  1. 9 x2 – 4 y2 = 36                                       3 x + 2 y = 6
  2. 9 x2 – 25 y2 = 225                                   x – y – 1 = 0
  3. 3 x2 – 7 y2 – 20 = 0                                 x + 7 y – 10 = 0
26 Determina m in modo che la retta y = mx – 1 sia tangente all’iperbole 3 x2 – 4 y2 – 12 = 0.
27 Determina b in modo che l’iperbole risulti tangente alla retta di equazione x – y – 5 = 0.
28 Determina l’equazione, riferita agli assi, dell’iperbole equilatera passante per il punto P (5; 4).
29 Determina l’equazione, riferita ai suoi asintoti, dell’iperbole equilatera passante per il punto P (–2; 4).
30 Data l’iperbole xy = 6 e la retta x + y + k = 0, determina k in modo che la retta sia tangente alla curva.
31 Determina l’equazione dell’iperbole di equazione sapendo che passa per i punti A (0; –2),
B (1; 1/2) e C (–1; –3/4).
Esercizi da 1 a 14 - da 15 a 24 - da 25 a 31